Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(9.70)
где
(Т+1) АГ*
21/2g3/2 '
(9.71)
Ударные волны
о
где
то имеем
x = Br-G{r),
G (г) = kF (Б,) г*/2 -h - kF (Б*) г'/2_ |2,
Ё2
4 {F (ii) + F (|2)} (Ь - Б0 = j F(l) dl.
9.3. Звуковые удары
323
Тогда, опустив индекс у ?2, получим соотношения
6
~ kF2 (?) г1'2 = j F (Г) dr, (9.72)
о
x^Br - kFffirW + l, (9.73)
определяющие ударную волну. Параметры течения непосредственно за ударной
волной даются равенствами (9.67) и (9.68), где ? (г) определяется из
(9.72).
Обтекание тонкого конуса
Для конуеа с углом полураствора е площадь S (х) = яе2ж2 и функция F,
определяемая по формуле (9.69), принимает вид F (?) = 2е??Ч"
В этом случае соотношение (9.72) между ? и г для точек ударной волны
записывается так:
11/2 = |-te2r^2,
а уравнение ударной волны (9.73) сводится к следующему:
х - Вг - \ №Фг.
4
Это соответствует конической ударной волне с углом полураствора
U I 3 (Y+l)2Af6j 4 /Q у/\
Ио+ 8 2(Л/2_1)3/2е •
Интенсивность ударной волны находится из (9.68):
Р-РО Зу (у +1) М6 4 " с
р0 ~ 2 (Л/2-1) (У. /О]
Для конуса из соображений размерности следует, что точное решение
является автомодельным и параметры течения зависят только от r/ж. Тогда
точные нелинейные уравнения сводятся к обыкновенным дифференциальным
уравнениям и интегрируются численно. Это знаменитое решение Тейлора -
Макколла [1], которое явилось вехой в развитии теории сверхзвуковых
течений. Выражения (9.74) и (9.75) были выведены для тонких конусов в
рамках автомодельной теории Лайтхиллом [2]. Они являются основой для
ценной проверки результатов более общего подхода Для тонких тел.
Численные результаты показывают, что выражения (9.74) и (9.75)
представляют собой очень хорошие приближения для конусов с углами
полураствора до 10° и чисел Маха в интервале примерно от 1,1 до 3,0.
Гл. 9. Распространение слабых ударных волн
324
Для тонких тел произвольной формы указанные формулы определяют
первоначальное поведение ударной волны. Следует отметить, что в то время,
как возмущения около тела имеют порядок О (е2), интенсивность ударной
волны является величиной порядка О (е4). Это в известном смысле объясняет
отсутствие ударных волн в линейной теории.
Поведение ударной волны на больших расстояниях от тела конечных размеров
Согласно (9.72), для точек на ударной волне | |0 ПРИ
г-*- оо, причем F (|0) = 0. Тогда вместо (9.72) имеем асимптотическое
соотношение
1о
F (r) ~ {т J F №')dl'}1/2 г_1/4* <9-76)
о
Уравнение ударной волны асимптотически переходит в
x~Br-{2k j (9.77)
о
а интенсивность ударной волны определяется так:
^~^{4j>(r)<Vs''-
"(1,+?)Ь(А/г-1)1/1>{| Г(c)"}'/2г-3". (9.78)
Это наиболее важная формула в исследованиях звукового удара. Она
показывает, что интенсивность звукового удара у поверхности Земли очень
слабо зависит от числа Маха, изменяется с расстоянием как г-3/4 и зависит
от формы тела за счет множителя
io
*={ j F{l)dl}U\ (9.79)
о
Если длина тела равна /,, а относительная толщина б представляет собой
отношение максимального диаметра к длине, то множитель К сл б Р/4. Для
тела, форма которого определяется уравнениями
находим К = 1,04б/3/4.
9.3. Звуковые удары
325
Асимптотический волновой профиль имеет форму уравновешенной TV-волны. В
области между ударными волнами ? ~ ?0, F(?) ~ 0, так что, согласно
(9.70),
и, в силу (9.68) и (9.71), отношение давлений равно
Течение за задней ударной волной не является невозмущенным, но в нем
возмущения имеют порядок меньший, чем для TV-волны. Эти и другие детали
можно найти в работе автора (Уизем [3]).
Может показаться, что осесимметричные тела существенно отличаются от
реального летательного аппарата, но известно, что на больших расстояниях
от тела конечных размеров поле течения для любого направления можно
представить как течение, вызванное эквивалентным телом вращения. Это
значит, что выражения (9.67) - (9.69) применимы для любого направления,
но каждому направлению будет соответствовать своя функция F. В линейной
теории, с которой мы начинаем, вклады от фюзеляжа, крыльев, распределения
подъемной силы и т. д. можно учитывать по отдельности и результирующая
функция F для каждого направления получается суммированием всех этих
вкладов. Затем эта функция F подставляется в формулы для нелинейного
решения.
Объемный вклад связан с распределением площади поперечного сечения S (х),
где в соответствии со сверхзвуковым правилом площадей плоскости образуют
разрезы под углом к потоку. Детали этого метода и нелинейные результаты
приведены в статье автора (Уизем [5]). Когда учитываются различные
выступы, такие, как крылья, производная S' (х) становится разрывной и
следует соответствующим образом изменить выражение (9.69) (Уизем
¦ Эффекты распределения подъемной силы имеют такую же важность, как и
объемные эффекты. В линейной теории распределение подъемной силы L (х)
дает вклад
р~р0 у (М2-1)1/2 (Дг-х+Ео) Ро ~ v+1 M'l г
(9.80)
Обобщения теории
[3]).
^ х-Вг
в потенциал скорости, где со - угол между направленной вниз вертикалью и
