Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
где одна из скоростей с положена равной нулю. Другие примеры будут
упомянуты ниже.
Если рассматриваемая система имеет порядок выше второго, то число
сомножителей в левой части уравнения (10.5) соответственно возрастает.
Волны высшего порядка, очевидно, описываются факторизованным оператором в
(10.5). Действительно, если бы отсутствовали члены низшего порядка
(ц = оо), то общее решение имело бы вид
Ф = фг (х - cj) + ф2 (х - c2t). (10.6)
С другой стороны, если бы отсутствовали члены высшего j порядка
(т] = 0), то это решение имело бы вид
ф = Фо (х - (10.7)
Последнее, конечно, соответствует упрощенному уровню описания,
линеаризованный вариант которого дается уравнением
ж+"ж=°- <10-8>
Наши вопросы касаются комбинированных систем, различных ролей, которые
играют волны на двух уровнях описания, и модификаций выражений (10.6) и
(10.7). .
Мы-можем, заранее представить себе, .что должно, произойти-Поскольку
характеристики уравнения (10.5) определяются ,чде-
Гл. 10. Иерархия волн
329
нами высшего порядка, то первые сигналы и волновые фронты должны
перемещаться со скоростями са и с2. Но чтобы не возникло противоречие с
упрощенным описанием, часть возмущения должна перемещаться со скоростью
а. Это изображено на (х, ^-диаграмме, приведенной на рис. 10.1. Когда
параметр т) уменьшается, первые сигналы должны становиться малыми,
основное возмущение должно распространяться со скоростью а и с разумной
точностью аппроксимироваться выражением (10.7).
Рис. 10.1. (х, ()-диаграмма для задачи Коши.
1 - основное возмущение, 2 - малые возмущения.
Эта картина имеет смысл только в том случае, когда а лежит между с, и с2.
Но, как мы видели в гл. 3, именно это условие необходимо для
устойчивости, так что условие устойчивости тесно связано с идеями
распространения волн. Трудно удержаться от высказывания, что
неустойчивость, возникающая при а, не лежащем в интервале между с, и с2,
объясняется тем, что в соревновании двух множеств волн волны,
распространяющиеся со скоростью а, не могут одержать победу.
Здесь также возникает вопрос о подходящих граничных условиях, так как
число граничных условий определяется числом характеристик, направленных в
интересующую нас (х, ^-область. Однако число характеристик может меняться
при переходе от
(10.1) к (10.3) или от (10.5) к (10.8), и требуется разъяснить это
кажущееся несоответствие. В силу неравенства
сх> а> с2, (10.9)
накладываемого устойчивостью, уравнение (10.5) может потребовать лишь
больше граничных условий, чем (10.8). Когда это имеет место, то между
двумя уровнями, описания не будет противоречия, если дополнительная
информация для уравнения (10.5) будет влиять на решение только и
пограничном слое, тонком для малых Т), а вне этого слоя решение уравнения
(10.5) будет хорошо аппрок-
Гл. 10. Иерархия волн
330
симироваться решением уравнения (10.8). Соответствующее решение уравнения
(10.8) будет удовлетворять только части граничных условий, согласование
же с дополнительными граничными условиями будет происходить в пограничном
слое.
Детали всех этих рассуждений подтверждаются точными решениями уравнения
(10.5). Затем подходящие идеи можно частично перенести на нелинейную
ситуацию. В нелинейном случае имеется возможность возникновения ударных
волн, и на различных уровнях описания эти волны будут иметь различную
структуру. Понимание связей между ударными волнами различных типов
приводит к простому критерию, предсказывающему, когда структура ударной
волны все еще будет включать разрыв. Примерами! таких условий являются
неравенства (3.17) и (3.52). Теперь мы сможем дассмотреть эти условияJc
более общей точки зрения и привести ральнейшие примеры.]
10.1. Точные решения линеаризованной задачи
Исследуем сначала уравнение (10.5) на устойчивость. Элементарное решение
имеет вид
то одно из этих выражений будет иметь положительную мнимую часть, что
свидетельствует о неустойчивости. Обратно, легко проверить, что при
выполнении зтих условий Im со <С 0 при всех к, так что они полностью
обеспечивают устойчивость. Будем теперь считать, что неравенства (10.13)
выполнены, и рассмотрим более общие решения.
Основные моменты одинаково хорошо можно выявить как на решении задачи
Коши при помощи преобразования Фурье, так и на решении задачи о
распространении сигнала при помощи преобразования Лапласа. Мы выбрали
последнюю, поскольку она содержит большее число различных частных
случаев, зависящих от знаков сх, с2 и а.
т) (со - key) (со - кс2) + i (со - /ся)|= 0. (10.10)
Для сравнительно коротких волн ксуЦ Э" 1 имеем
Если не будут выполнены условия
Т] > 0* Су> а > с2,
(10.13)
10.1. Точные решения линеаризованной задачи
331
Случай сх > о > 0, с2 < 0. Это простейший случай: поскольку с2 <С 0,
возникает только с,-семейство волн высшего порядка, а поскольку а > 0, не
существует противоречия между числом граничных условий, накладываемых при
х = 0. Для уравнения (10.5) корректно поставленная задача в этом случае
