Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уизем Дж. -> "Линейные и нелинейные волны" -> 109

Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны — М.: Мир, 1977. — 638 c.
Скачать (прямая ссылка): lineynieinelineynievolni1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 103 104 105 106 107 108 < 109 > 110 111 112 113 114 115 .. 215 >> Следующая

dt _ 1 т-fl F(t) .__1 / (т)
dr во 2а0 г * а|5 г2 '
J±irWin > Ж+гм.
(9.23)
(Соотношение между F (т) и / (г) принимает вид /'(т) = = - az0F (т)Г(т),
если Т'(т) Ф 1.) Поскольку нас интересует область а0т/г<^ 1, а в этой
области член / (т)/г всегда сравнительно мал, достаточно положить
Р~Ро yF (т) а -а0 _ у- 1 С(т) __^ (т)
Р° Г ' +! 2 ' ' Г (9-24)
+ Г(Т)-
Это довольно тривиальный пример, в котором сохраняется лишь приближение
геометрической акустики к (9.21) и (9.23). Цилиндрические и другие волны
в газовой динамике рассматриваются аналогично, и приближение
геометрической акустики дает существенное упрощение, подобное переходу от
(9.11) к (9.12).
Если в выражение для с входят производные, то их удобнее считать новыми
зависимыми переменными. Тогда во всех случаях приближение геометрической
оптики приводит к выражениям для этих зависимых переменных,
пропорциональным
Ф (s) F (т),
где Ф (s) - амплитудная функция, a F (т) описывает профиль волны.
Уточненная скорость распространения в этом приближении равна
с ~ с0 + с1кФ (s) F (т), (9.25)
где коэффициент к - постоянная, определяемая конкретной связью между с и
зависимыми переменными. Исправленные характеристики удовлетворяют
уравнению
? = -±_МHs)F(r)
(9.26)
Гл. 9. Распространение слабых ударных волн
310
и имеют вид
t = -L - kF (т) j Ф (s') ds' -f T (т). (9.27)
Построение разрывов
Ударные волны в случае необходимости вводятся с помощью условия на слабом
разрыве
U = ~2 (с1 + сг)>
где U - скорость ударной волны, а с( и с2 здесь означают скорости
распространения возмущения на двух сторонах разрыва. В данном случае
удобно рассматривать кривые в (s, ^-плоскости, считая t функцией от s,
так что условие на разрыве принимается в виде
(#L.=4{ (?)*+(!-)*}¦ <9-28>
эквивалентном предыдущему с точностью до членов второго порядка
относительно отклонений скоростей от с0. Если ударная волна описывается
уравнением
* = J-_G(S),
сО
то имеем
G' (s) = Y Л {F (Ti) + F (та)} Ф (s),
S
G (s) = kF (Tj) j Ф (s') ds - T (t4) } о
s
G (s) = kF (t2) j Ф (s') ds'-T (t2). о
Таким образом получается типичное соотношение "равных площадей"
{F (тО + F (т2)} {Т (т2) - Т (т,)} = j F (т) dT (т). (9.29)
Положение передней ударной волны, движущейся в невозмущенную область,
определяется уравнением (9.27), где т связано с s соотношением
S Т
у kF2 (т) j Ф (s') ds' = j F (т') dT (т'). (9.30)
9.2. Обоснование метода
311
При s оо уравнение ударной волны асимптотически переходит в уравнение
S
t = J-К { j Ф (s') ds'}1/2 4 Т (т0), (9.31)
О
где
То
К = { 2k j F (т) dT (т)}1/2, F (т0) = 0. (9.32)
0
На ударной волне параметры течения пропорциональны
КФ(8) { j Ф(5')^'}-1/2. (9.33)
о
Типичная асимптотическая форма волны - это Лг-волна с уравновешенными
ударными волнами, в области между которыми происходит линейное убывание
по времени, пропорциональное
Ф(я) { j Ф(/)^}-1. (9.34)
о
Для сферических волн Ф (s) = 1/s и интенсивность ударной волны (9.33)
убывает как s"1 (In s)-1/2, лишь незначительно быстрее, чем затухают
линейные импульсы. Для цилиндрических волн Ф = s_1/2 и интенсивность
ударной волны убывает как 5-з/4 Копечно, плоские волны тоже описываются
этими формулами; для них Ф постоянная и закон затухания имеет вид s_1/2,
что согласуется с полученными ранее результатами. Эти асимптотические
законы затухания для цилиндрических и сферических волн были получены
независимо различными авторами, первым из которых был, вероятно, Ландау
[1].
Для более общих двух- и трехмерных волн в однородной среде
Ф (s) оо Л~1/2 (s),
где А (s) - площадь сечения трубки лучей. Дальнейшие детали и приложения
можно найти в ранней работе автора (Уизем [5]).
Для неоднородной среды s/c0 заменяется на j ds/c0 и все выражения в
(9.26), зависящие от s, должны быть включены в Ф (s).
9.2. Обоснование метода
Существует несколько подходов, при помощи которых можно математически
изучить метод введения нелинейности для конкретных систем, и каждый из
них отражает свои аспекты этого приближения.
Гл. 9. Распространение слабых ударных волн
312
Прежде всего предположим, что нелинейное уравнение для ф имеет вид
Ч>( + (с0 + с1ф)фх + -^-ф = 0. (9.35)
В данной ситуации это уравнение предлагается как модель, но
впоследствии мы увидим его связь с другими случаями. Линеари-
зованное уравнение
+ соФж + ф = 0 (9.36)
имеет решение
(9.37)
f(t - x/c0)
При Р = 1 это выражение соответствует сферической волне, при Р = 1/2 -
цилиндрической. Характеристическая форма уравнения (9.35) записывается
так:
(*o + <*P)-g-=-^Ф, (9-38)
dt 1
dx
Уравнение (9.38) имеет точное решение
(9.39)
фес1Ф/с0 = 1?Е1 ^ (9.40)
хр
где т - характеристическая переменная, которую следует определить из
уравнения (9.39). Ясно, что выражение
Ф=^ПГ (9-41)
ХР
для малых ф является равномерным приближением к (9.40). Это подтверждает
основное предположение данного метода. Способ определения переменной т
можно изучить, используя разложения выражений (9.39) и (9.40) по степеням
Предыдущая << 1 .. 103 104 105 106 107 108 < 109 > 110 111 112 113 114 115 .. 215 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed