Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
ф, сходящиеся при I ф | < < Сд/щ. Имеем
dt _ 1 I У if (т) -у г/2(т)
dx с0 "Г *Э + *2Р I"-""
где коэффициенты уп выражаются через с0 и ct; в частности, yt = = -ci!c\.
Отсюда
t=T(+ + Ж1-2Р + .... (9.42)
(В случае когда р = 1, 1/2 и т. д., соответствующие степени заменяются
логарифмами.) Первое равномерное приближение имеет
9.2. Обоснование метода
313
вид
(9.43)
и согласуется с результатами, вытекающими из (9.41) и уравнения
Следовательно, равномерное приближение, полученное из уравнений (9.41) и
(9.43), в точности совпадает с приближением метода введения нелинейности.
Заметим, что в самом деле было бы бессмысленно добавлять дальнейшие члены
в разложение (9.44) без добавления соответствующих членов в приближение
(9.41).
Остальные подходы иллюстрируются на примере уравнения для сферических
волн в газовой динамике (чтобы сделать выкладки как можно проще), но не
вызывает сомнений, что они пройдут (с возможными незначительными
изменениями) и в других случаях. Достаточно, опять-таки простоты ради,
привести детали лишь для изэнтропического течения, хотя методы не
ограничены этим случаем, и даже при наличии ударных волн изменения
энтропии для слабых волн не влияют на члены низшего порядка. Полные
уравнения были приведены выше (см. уравнения (6.132) - (6.134)), и для
изэнтропического течения их можно свести к следующей системе уравнений
для скорости звука а и радиальной скорости и:
Один очевидный подход состоит в том, чтобы продолжить формальные
разложения по малой амплитуде за рамки линейной теории, посмотреть, что
будет не так, и внести исправления. Здесь оказывается полезным ввести
малый параметр е в явном виде; например, г можно положить равным
максимальной величине отношения и/а0 на некоторой исходной поверхности.
Тогда формальные разложения примут вид
Подставим их в (9.45) и (9.46). Приравнивая коэффициенты при
последовательных степенях е к нулю, получим цепочку систем уравнений для
(н^щ), (ы2,а2), .... Очевидно для иг и получим линейные выражения,
выведенные ранее; их главные члены
(9.46)
(9.45)
Разложения по малому параметру
и - ещ (г, t) -j- е2и2 (г, t) + . . . , а = а0 + zai (г, t) -f e2a2(r, t)
-f . . ..
Гл. 9. Распространение слабых ударных волн
314
будут пропорциональны F (t - r/a0)/r. Затем находятся выражения для и2 и
асодержащие члены с r_1 In г, г-2 In г и г-2. Первый из них несет
ответственность за неравномерность, поскольку из-за него отношения и2/и1
и a2/ai стремятся к бесконечности при г -оо; другие же члены безвредны.
Эти выражения имеют следующий вид:
где т* - линеаризованная характеристическая переменная t - - г/а0. Здесь
и2 и а2 обозначают члены, равномерно ограниченные по щ и ai, F (т*) = -
/' (т*)/а2, как и раньше, a eF теперь заменяет функцию F в (9.20) и
(9.21). Мы сразу замечаем, что появление "неправильных" членов можно
интерпретировать как следствие неоправданного применения разложений в ряд
Тейлора к выражениям
Но эти выражения в точности совпадают с предложенным нелинейным решением
(9.20), (9.21) с переменной т, определенной как в
(9.24), и с Т (т) -- т. Ситуация очень напоминает ситуацию, рассмотренную
в § 2.10. Процедура последовательного подправ-ления ряда Тейлора известна
в теории возмущений. Введение произвольной функции Т (т) вносит больше
свободы в выбор характеристической переменной т, и этот произвол в выборе
т компенсируется при определении функции F (т) из граничных условий, так
что окончательное решение определяется однозначно.
Предыдущее исследование показывает, что во избежание неравномерностей
следует начинать с разложений
2 а - #0 V -1 "о
+ е2{
,2 / -у-Н F(T*)F'(l*) 1 2"о Г
Г V-Н F (т*) V (т*) 1д I 2 а0 г
1п г + а21 + ... ,
In г + и21 + ... ,
2 а - а0 F (т)
¦у -1 во г
где
т = т* - eF (т) 1пг.
1 2а0 w
и = eut (г, т) -f e2u2 (г, т) + .. ., а = а0 + ещ (г, т) + е2а2 (г, т) -
J- ...,
(9.47)
где т = т (t, г, е) выбирается надлежащим образом. Еще лучше добавить к
(9.47) разложение
t = i0 (г, т) + Eti (г, т) + . . • (9.48)
9.2. Обоснование метода
315
и определять функцию t (г, т, е), подбирая U (г, т), t2 (г, т), . . .
так, чтобы не возникали члены, нарушающие равномерность приближения. В
волновых задачах мы ожидаем, что последнее разложение будет определяться
требованием, чтобы кривые т = = const были характеристиками. (Этот метод
"деформированных координат" (strained coordinate) был предложен
Лайтхиллом [3] в связи с другими задачами.) Предполагая заранее, что т
окажется характеристической переменной, очевидно предпочтительнее перейти
в уравнениях (9.45)-(9.46) к независимым переменным т и г, полагая t = t
(т, г). При этом, в силу уравнения для характеристик,
Тогда уравнения можно записать в виде
Система несимметрична вследствие смешанного использования
характеристической переменной т и радиального расстояния г. Однако (9.50)
можно рассматривать как характеристическое уравнение для изменений вдоль
характеристик т = const.
Уравнения (9.49) - (9.51) теперь решаются с помощью разложений (9.47) и
