Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Период тогда не зависит от амплитуды и кривая (34.12), которая является
циклоидой, называется таутохроной для силы тяжести1).
1) О таутохронах и брахистохронах (кривые наибыстрейшего спуска) см.
Аппель (II], т. 1, стр. 390-408; Macmillan [17], т. I, стр. 322-329.
ГЛАВА 111
ДВУМЕРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
§ 35. Движение частицы в однородном гравитационном поле в
сопротивляющейся среде. Для частицы с массой т, которая движется в
однородном гравитационном поле в сопротивляющейся среде, плотность
которой зависит только от высоты, уравнения движения имеют вид
x = -f(v,y)^, у = - g - / (v, у) . (35.1)
Здесь ось х - горизонтальна, ось у направлена вертикально вверх и mf (v,
у) - сила сопротивления движению; v - абсолютная величина скорости.
Если / = О, мы получаем элементарную параболическую траекторию
х = a -j- bt, у = с -j- et gt2, (35.2)
tZi
где а, b, с, е - постоянные, определяемые начальными условиями1). Если /
= kv, уравнения (35.1) имеют простые экспоненциальные решения2).
Уравнения интегрируются до конца3) также для случая / = к0 kvn, который
содержит как частный случай4) сопротивление, пропорциональное квадрату
скорости (/ = kv2).
Интегрирование уравнений в форме (35.1) является центральной задачей
внешней баллистики; здесь функция
!) Геометрические построения, связанные с параболическими траекториями
см. Аппель (2], 1, стр. 304-306; J1 а м б [13], стр. 95-96; Synge and
Griffith [26], стр. 151.
2) См. Synge and Griffith [26], стр. 159.
3) См. Аппель [2], 1, стр. 306-313; Macmillan [17], 1, стр. 256. Это -
интегрируемый случай Лежандра.
4) См. Synge and Griffith [26], стр. 157.
§ 36]
ПРОБЛЕМА КЕПЛЕРА
103
f(x, у) задается численно или некоторой эмпирической формулой1).
Применяется также численное интегрирование.
§ 36. Проблема Кеплера2). В проблеме Кеплера частица с массой т
притягивается к неподвижной точке О (или отталкивается от нее) с силой,
обратно пропорциональной квадрату ее расстояния г до точки О. Пусть
направленная к точке О компонента этой силы равна тер/г2 (р -
положительно в случае притяжения и отрицательно при отталкивании).
Вследствие симметрии орбита - плоская кривая, и уравнения движения,
выраженные в полярных координатах (6, г) в плоскости орбиты, имеют
следующий вид (ср. (30.13)):
У- гб2 = - Д; , г26 = А, (36.1)
Г
где h - const есть момент количества движения единичной массы (ср.
(31.6)). Кинетическая и потенциальная энергии единичной массы равны
Г = 4-('2+г2*2)> V = -•?. (36.2)
Ld Г
Мы имеем уравнение энергии
Т + V = Е, (36.3)
где Е = const - полная энергия единичной массы.
Полагая и = 1 /г и исключая t из уравнений (36.1), мы получим
d\ р ..
<ЗМ)
х) О прежних подходах к внешней баллистике см. Char-bonnier P., Traite de
Balistique exterieure (два тома) (Paris, Doin & Gauthier - Villars, 1921-
1927) и о современных подходах см. McShane Е. J., Kelley J.L. and Reno
F., Exterior Ballistics (Denver, University Press 1953).
2) О решении проблемы Кеплера при помощи уравнения Гамильтона - Якоби
см. § 78 или Аппель [2], т. 1, стр. 485- 488. О релятивистской проблеме
Кеплера см. § 115. О силе вида г2ф(ф) см. Аппель [2], т. 1, стр. 332.
104
ДВУМЕРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
1ГЛ. III
и, следовательно,
и = + С cos (д - д0),
h
(36.5)
где С, др- постоянные интегрирования. Постоянная С определяется из
уравнения (36.3) через Е и /г; кроме того, соответствующим выбором линии
д = 0 можно сделать д0 = 0. Тогда уравнение орбиты может быть записано в
виде
Орбита является коническим сечением с эксцентриситетом е. В зависимости
от того, какое из соотношений имеет место, Е < 0, Е = 0 или Е > 0, эта
кривая соответственно эллипс, парабола или гипербола. Центр силы
совпадает с фокусом конического сечения.
В случае силы отталкивания р < 0, Е > 0 и орбита может быть только
гиперболической; это - ветвь гиперболы, обращенная выпуклостью к точке О.
Эллиптическая орбита определяется большой полуосью а и эксцентриситетом
е, или постоянными Е и /г. Связь между этими константами выражается
формулами
и =
у = (1 + е cos д),
(36.6)
где
(36.7)
Е = - , h = Ура (1 - е2).
(36.8)
2 а
Абсолютное значение скорости v на расстоянии г от точки О определяется
выражением
§ 37] ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ
105
а период равен 2 л, а
х = ^ 1Л _ е2 = 2я \[- = -. (36.10)
V Li 1/_2jE3
h V p Y- 2?3
Мы не можем здесь входить в детали исследования эллиптических (планетных)
орбит, наиболее интересных для небесной механики1).
§ 37. Общий случай центральных сил. Для частицы с массой т,
отталкивающейся от неподвижной точки О силой mF (и), где и - 1 /г,
уравнения (30.13) приводятся к виду
г- rd2 -- F, r2d = h, (37.1)
и отсюда к уравнению
+ <37-2)
air h и
Эти уравнения охватывают и случай притяжения, тогда F - отрицательна.
Потенциал V в этом случае существует и определяется выражением
Г
V(u) = ~^Fdr, (37.3)
Го
где г0- некоторая постоянная. Уравнение энергии Т + V - const приводит к
выражению
(37.4)
dH ) h
которое является, конечно, первым интегралом уравнения
