Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синг Дж.Л. -> "Классическая динамика" -> 28

Классическая динамика - Синг Дж.Л.

Синг Дж.Л. Классическая динамика — М.: Физматгиз, 1963. — 448 c.
Скачать (прямая ссылка): klassicheskayadinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 124 >> Следующая

Qp = iir-ir' (29ЛЪ
dt dqp dqp
то V называют обобщенной потенциальной функцией.
!) Французские авторы предпочитают употреблять термин силовая функция U,
причем V =-V.
В. ДИНАМИКА ЧАСТИЦЫ
ГЛАВА I УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
§ 30. Основные уравнения. Первые два закона Ныотона объединены в
уравнении
где т - масса частицы, и - ее абсолютная скорость и F - сила, действующая
на частицу. Если т - постоянна (как мы это и предполагаем), то уравнение
(30.1) эквивалентно следующему:
где а -- абсолютное ускорение.
Пусть хр - криволинейные координаты в абсолютном пространстве (ср. с §
17, 18). Тогда, согласно выражению
(18.3), уравнение движения (30.2) можно записать в контра-вариантной
форме:
где Fp - контравариантный вектор силы. Ковариантный вектор силы Fp можно
вычислить из инвариантной формулы
где SJE-работа, произведенная силой при произвольном перемещении ба^, и
Fp - получена из Fp по формуле
A(mo)=F,
(30.1)
та - F,
(30.2)
(30.3)
bW = Fpbxp
(30.4,
FP = gPPF
(30.5)
§ 30] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ 93
Согласно (18.5) ковариантная форма уравнения движения 4) имеет вид
d дТ дТ р ,ЭЛ а
F" <30'6)
где Т, кинетическая энергия частицы, определяется формулой
T = j mgpaxpxa. (30.7)
Если существует функция2) V(x, t) (ср. (29.9)), такая, что
dV
Fp = -j^, (30.8)
или если существует обобщенная потенциальная функция V (х, х, t), такая,
что
fp = A JL - , (зо.9)
dt dx дхр
то уравнение движения (30.6) можно записать в виде
= о, (зо.ю)
dt хр дхр
где . L - лагранжева функция
L = Т -V. (30.11)
В случае движения в плоскости наиболее удобными координатами являются
обычно прямоугольные декартовы координаты (х, у), в которых уравнения
движения выглядят так:
пг'х - X, ту = У, (30.12)
О Это - уравнение Лагранжа вида (46.17).
2) Здесь и далее вместо трех величин хр пишем х, и вместо хр - просто X.
94 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. 1
либо полярные координаты (г, 'б'), в которых эти уравнения принимают вид
т (г - гб2) = R, т - - (г2б) = 0, (30.13)
r dt
где Л и 0 - радиальная и трансверсальная компоненты силы.
В трехмерном пространстве удобно использовать
цилиндрические (18.8) или сферические полярные (18.10) координаты.
§ 31. Энергия. Момент импульса. Из уравнения (30.2) выводим следующее
соотношение:
f (31.1)
так что скорость возрастания кинетической энергии
равна мощности силы F. Если существует потенциальная функция (не
зависящая от t), то уравнение (31.1) приводит к интегралу энергии,
Т + V = Е = const, (31.2)
где Е - полная энергия.
Так же, согласно (30.2), получим уравнение
rxma = rXF (31.3
или уравнение
| = е, (31.4)
где h - момент импульса для начала О, a G - момент силы F относительно О.
Если линия действия проходит через тойку О, то G = О, поэтому
h - const. (31.5)
Это - интеграл момента импульса. В случае движения частицы в
плоскости под действием сил, направленных
к началу координат или от него, он приводит к уравнению
г2б = const, (31.6)
S S2]
ДВИЖУЩИЕСЯ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА
95
из которого следует, что радиус-вектор, проведенный из начала координат к
частице, описывает в равные времена равные площади. Полезно запомнить,
что
г2# - pv, (31.7)
где v - абсолютная величина скорости и р - перпендикуляр, опущенный из
начала координат на касательную к орбите.
§32. Движущиеся системы отсчета. Пусть S - твердое тело, которое движется
заданным образом относительно абсолютного пространства. Это движение
можно описать, если выбрать определенный полюс О в теле S, задать
абсолютную скорость н0 (0 точки О и задать, кроме того, угловую скорость
ы тела S. Примем S за движущуюся систему отсчета. Тогда абсолютное
ускорение а частицы, возникающее под действием силы F, можно разбить на
четыре слагаемых вида (20.10) и написать уравнение движения (30.2) в
следующей форме:
та = F-\-Fo-{-Fc-{-Ft, (32.1)
где тп - масса частицы и
F0 = - тпа0, 'j
Fc = - mac= - 2т<л X v', |
(32 2)
Ft = - mat = - иш Х(йХг') =
= - mca x r' - т<л (car') + тисо2г'.
В уравнении (32.1) а' - относительное ускорение, т. е. то ускорение,
которое измеряет наблюдатель, движущийся вместе с телом S. Можно сказать,
что для движущейся системы отсчета закон Ньютона приобретает форму
та' -F', (32.3)
где F' - сумма реальной силы F и трех фиктивных сил Fо, Fr, Ft. Здесь F0
- сила, которая возникает только вследствие ускорения полюса (она
существует даже если S не вращается); Fc - сила Кориолиса, имеющая
большое значение в метеорологии и во всех явлениях, связанных
96
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
1ГЛ. 1
с вращением Земли; Ft - по своей природе принадлежит к центробежным
силам, хотя этот термин обычно применяется только в том случае, когда о>
= const, и тогда (ср. (20.14))
Ft = тДш2. (32.4)
Если движение тела S равномерное, то e0 = w = 0, и уравнение движения
(32.1) превращается в уравнение
ma' = F, (32.5)
которое означает, что такая система отсчета - ньютонова. Этот результат
известен как относительность в смысле Ньютона. Исходя от абсолютного
пространства S0 и ньютонова закона движения относительно S0 - находим,
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 124 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed