Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
вращалась. В действительности орбитой является эллиптическая линия и сек-
ториальная скорость равна
3
-о a2Q sin К,
О
где a - начальная угловая амплитуда. Так каю а мало, то этот эффект
значительно меньше, чем вращение Фуко.
Г. ДИНАМИКА СИСТЕМ ЧАСТИЦ И ТВЕРДЫХ ТЕЛ
ГЛАВА I УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
§ 44. Теоремы об импульсе и моменте импульса. Р
смотрим систему из Р частиц с массами mt (г=1, 2, . и радиусами-векторами
относительно начала коор; г, неподвижного в абсолютном пространстве So- И
эти частицы действуют силы F,-, которые мы разложим на ш-ние FI, и
внутренние, Ft, как в § 26. Уравнения , женин отдельных частиц можно
написать в виде
min - Fi = Fi + Ft (i = 1,2, - - -, P) .4.1)
p
и, так как 2 F'i= 0" получаем
i=l
M - F, (44.2
где
p p
М=2^, (44.3)
i=l i==l
a M и F представляют собой соответственно импульс системы (§ 23) и
главный вектор внешних сил (§ 26). Уравнение (44.2) выражает теорему об
импульсе: скорость изменения импульса системы равна главному вектору
внешних сил.
Можно также записать уравнение (44.2) в форме
ma = F, (44.4)
где т - масса всей системы и а - ускорение центра масс.
5 441. ТКОРКМЫ 01! ИЫПУЛЬСК И МО MIS IJTIC ИМПУЛЬСА | |д
р
Так как 2 п X Л = 0, то выражение (44.1) дает
i- 1
так же как следствие уравнение
A = G, (44.5)
где
р р
А = 2 щг, X г" G = 2 Г, X F\, (44.G)
i= 1 i=i
h и G соответственно полный момент абсолютного импульса, взятый для
неподвижного начала отсчета и главный момент всех внешних сил
относительно этого начала. Отсюда имеем теорему момента импульса в ее
первой форме: скорость изменения момента импульса, взятого, для
неподвижной точки, равна сумме моментов внешних сил относительно этой
точки.
Принимая во внимание выражения (24.11), легко получим из (44.4) и (44.5)
уравнение
h* - G*, (44.7)
где А* - момент относительного импульса, взятый для центра масс О*, если
рассматривать движение относительно точки О*1), a G* - сумма моментов
внешних сил относительно точки О. Это - вторая форма теоремы момента
импульса, когда движение рассматривается не относительно неподвижной
точки, а относительно центра масс.
Смысл приведенного вывода состоит в исключении внутренних сил на
основании третьего закона Ньютона2). Теоремы об импульсе и моменте
импульса справедливы для любой ньютоновой системы. Мы можем, конечно,
заменить абсолютное пространство Sо какой-нибудь ньютоновой системой S,
равномерно движущейся относительно Sо (ср. § 32).
1) Имеется в виду импульс по отношению к системе отсчета, движущейся
поступательно с началом в центре масе.
2) Ср. § 26. Аксиомы однородности и изотропности пространства (§ 5) здесь
было бы недостаточно.
120
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. J
§ 45. Принцип Даламбера. Энергия. Пусть 6rt (i = 1, . . Р) - произвольная
совокупность бесконечно малых векторов. Согласно (44.1) имеем уравнение
р р
2 тгггбг( = 2 Fi&rt = l>W, (45.1)
j=i i=i
где б IE - работа, произведенная силами Ft на перемещениях бг(. Эти
перемещения называются виртуальными, в отличие от перемещений,
действительно происходящих
при движении, а именно таких, что drt = г, dt.
Для того чтобы придать соотношению (45.1) вид принципа виртуальной работы
в статике, назовем векторы my'i эффективными силами, а векторы,
противоположные этим (- лгггг) - силами инерции, тогда соотношения (45.1)
можно сформулировать в любой из двух следующих форм (принцип Даламбера):
1. При любом виртуальном перемещении работа, произведенная эффективными
силами, равна работе, произведенной активными силами.
2. При любом виртуальном перемещении полная работа, произведенная силами
инерции и активными силами, равна нулю.
Значение принципа Даламбера обусловлено двумя фактами: а) система
векторных уравнений (44.1) заменяется одним скалярным уравнением; б) 6W
содержит только те силы, которые производят работу при перемещении б г;.
Отсюда, если система имеет связи, не производящие работы (§ 26), и
перемещение допускается ими, то силы связи не входят в выражение
принципа.
Теоремы об импульсе и моменте импульса (§ 44) исключают внутренние силы;
принцип Даламбера исключает реакции связей, не производящие работы1).
Если возможно выбрать виртуальные перемещения так, чтобы они совпадали с
действительными перемещениями при движении (бп = г,- dt), то уравнение
(45.1)
!) Обсуждение принципа Даламбера см. Аппель [2], 11, стр. 262-264 и
Lanczos, [15], стр. 92. О приложениях к сервомеханизмам см. Аппель [2],
11, стр. 344-355.
fj 40] УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА. ИГНОРИРУЕМЫЕ КООРДИНАТЫ 121
принимает следующий вид:
р ... р .
2 тггггг=2 Firi - W. (45.2)
г=1 i=l
Это уравнение эквивалентно следующему:
j = W, (45.3)
где Т - кинетическая энергия. Скорость изменения кинетической энергии
равна скорости изменения работы {мощности) всех сил, действующих на
систему, сюда входят все силы, производящие работу - внешние и
внутренние.
Если система склерономна и существует потенциальная функция V (ср.
(29.9)), то уравнение (45.3) приводит к уравнению энергии или к интегралу
