Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
системы), мы имеем dL/dt = 0; в этом случае уравнение (46.20) имеет
интеграл
У q,~-L=K. (46.21)
dq>
Кинетическая энергия - функция второй степени относительно обобщенных
скоростей (qp) и ее можно представить в виде суммы
Т = Т2 + Ti + То, (46.22)
где индексы указывают степень однородности выражения относительно
обобщенных скоростей. Если V = V(q) - обычная потенциальная функция, то,
прилагая теорему Эйлера для однородных функций к уравнению (46.21),
получим
Тг ~ Т0 + V = К. (46.23)
Если, кроме того, система склерономна - имеет место
Т = Т2 и выражение (46.23) принимает следующий вид:
Т + V = К, (46.24)
126
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
| Г.П I
т. о. нолучаем уравнение энергии или интеграл энергии вида (45.4).
у) Игнорируемые координаты. Рассмотрим голоном-ную систему с лагранжевой
функцией L. Если одна из координат др не входит в ?, то говорят, что эта
координата игнорируемаяг).
Если координата qp - игнорируемая, то соответствующее уравнение движения
системы (46.8) дает интеграл
- = ср. (46.25)
d'qP
Это - первый интеграл уравнений движения. Если ?i> • ¦ •> 9м -
игнорируемые координаты, то имеются М интегралов, аналогичных (46.25).
Решая эти уравнения, получаем скорости, соответствующие игнорируемым
координатам (т. е. gi, . . ., qM), как функции остальных координат и
скоростей, времени t и констант Ci, . . ., см. Функция Рауса R,
определенная уравнением
М ът м
R=L-^ VV <46-26)
p=i p=i
может быть выражена в следующей форме:
R = R (qM +ь .. ., qpf, t, qM + i, . . ., qN, сi, .. ., cM).
(46.27)
Этой функцией, как мы сейчас покажем, можно заменить функцию L в
уравнениях движения.
Так как динамическая система может рассматриваться в любой конфигурации в
любой момент времени с любыми
!) Употребляют также термины киностеническая и циклическая координаты,
особенно часто последний, что очень жаль, так как термин "циклический"
может оказаться необходимым в топологическом смысле слова; ср. § 63.
Слово "игнорируемый" используется в различных смыслах: (I) координата не
входит в Г и (II) она отсутствует в L; ср. Голд стейн [7], стр. 62; Lane
z os [15], стр. 125.
j 46] УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА. ИГНОРИРУЕМЫЕ КООРДИНАТЫ 127
обобщенными скоростями, то 2N - М -г 1 величин
Ям+ь • • •> 4ni ti ?i> • • •> 4n (46.28)
можно считать независимыми переменными; соответственно 2N - М ¦1 величин
7аГ + !) • • м Qni ti Cii • • ч CMl Ям+ii • • ч Qn (46.29)
тоже являются независимыми переменными; используя эти переменные для
составления вариации раусовой функции R, получим из (46.27) и (46.26),
приняв во внимание интегралы (46.25), выражение
t р " OR dR " dR
У -67p+--б<+ V -- 6gp +
dq0 dt dqD
p=M + l ЭР p=M + i p
? 9R А Д 9L А J- 91 _L
+ 2 a^6Cp= 2 ^ig°+a6t +
p=l P p=M + l ^p
N qt M
+ У ~гг~ &Яр У (gP6cp + Cp6gp) =
" дЧр ^
Р=1 Р=1
ЧП dL A _L A, _L ^ 9L А • ? • А
= 2 ^Ьдр + аы+ 2 ^ н, - 2 "^v
р=М + 1 р р=М + 1 'р р=1
(46.30)
Отсюда, считая вариации величин (46.29) независимыми, найдем уравнения
ат
(q = М+ 1, ..., ЛО (46.31)
dR _ дЬ dR _ dL
dqP dqP ' dqP dqP
и
dR _ dL dR
dt ~ dt ' dcp = - ?P
(е = 1 ЛГ)- (46.32)
Подставляя в лагранжевы уравнения (46.18) значения частных производных
функций L из (46.31), получаем
128
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. 1
уравнения движения в форме
=0 (е = М + 1, ..., N). (46.33)
dt dqp dqp
Неизвестными в этих уравнениях являются только N - М неигнорируемых
координат qp. Уравнения содержат постоянные ci, ..., см. Исходные
дифференциальные уравнения (46.18) представляют собой систему N уравнений
второго порядка.
В уравнениях (46.33) мы имеем систему N - М уравнений второго порядка,
причем лагранжева форма сохраняется с заменой L на R. Переход от
уравнений (46.18) к (46.33) называется операцией исключения игнорируемых
координат.
Если система (46.33) разрешена относительно неигнорируемых координат, то
игнорируемые координаты определяются формулами
<lp = -{ir-dt (0 = 1, ...,М). (46.34)
J ос р
§ 47. Уравнения Гамильтона. Рассмотрим систему с N степенями свободы,
движение которой задано уравнениями Лагранжа (46.18), где L - некоторая
функция
обобщенных координат qp, их производных q0 и времени t. Определим
обобщенные импульсы рр следующим образом:
дЬ ...
РР =- (е = 1......N)-
dqP
Если
det -Э-ф 0, d'qp dqa
что имеет место в общем случае, то уравнения (47.1) можно разрешить
относительно обобщенных скоростей, так что мы получаем выражения
(47.1)
(47.2)
gp = /p(g. t, р) (е = 1......................N). (47.3)
§ 47J
у рл вне н nit рамп л ьт о 11 л
12!)
Тогда функцию L ыожно выразцть как функцию 2N ф- 1 переменных (q, t, р) и
определить так называемую гамильтонову функцию II при помощи уравнения
Будем считать теперь 2N + 1 величин (q, t, р) независимыми переменными.
Обобщенные скорости выражаются через них по формулам (47.3). Для
произвольной вариации функции Н имеем следующее выражение:
где суммирование производится от 1 до N. Согласно
(47.1), вторая и третья суммы правой части взаимно уничтожаются и мы
