Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
аберрации, нужно привлечь приближения высших порядков 2).
1) Некоторые детали см. Synge and Griffith [22], стр. 387-403.
2) О принципах геометрической оптики см. статью А. М а г ё-
с h а 1, Handbuch der Physik, Vol. XXIV; об электронной оптике и
электронных микроскопах см. статьи W. Glaser and S. L е i-s e g a n g,
Vol. XXXIII. См. также W. Glaser, Grundlagen dor
Elektronenoptik, Vienna: Springer, 1952.
8 Дж. Л. Синг
V *= Ус (z) + J B2Vt (z) + ^RiV2(z)+..., Q = Q0 (z) + 1 R2Q4 (z) + i P4Q2
(z) + ...,
(41.1)
Vq'(z) +2Vt(z) = 0, Vi'(z) + jVt(z) = 0, ... (41.2)
S' +РС' + СС = 0, P = -+^
w w
(41.3)
Штрих означает производную -т- . Здесь Р и Q - задан-
Q/Z
ТРЕХМЕРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. IV
§ 42. Движение относительно вращающейся Земли '). Мы пренебрегаем здесь
орбитальным движением вокруг Солнца и рассматриваем Землю как твердое
тело, вращающееся с угловой скоростью й. Пусть Oxyz - прямоугольная
система координат (рис. 12) с началом О в точке
земной поверхности. Ось Oz направлена вертикально вверх (т. е. по
отвесной линии) и ось Ох направлена на юг. Пусть орты i, /, к
ортонормального триэдра направлены как осп координат этой системы. Для
того чтобы исследовать движение относительно земной поверхности, будем
использовать эту систему отсчета так, как если бы она была неподвижной,
добавляя фиктивные силы как в уравнении (32.1). Пусть к - широта точки О
и R - расстояние от точки О до земной оси. Тогда
й = - й cos кi -|- й sin кк, д0 = - sin ki - Ril2 cos kk;
Рис. 12. Оси, связанные с вращающейся Землей.
(42.1)
следовательно, если г, v теперь означают радиус-вектор
и скорость частицы в системе Oxyz и к - ее относительное ускорение, то,
согласно выражению (32.1), имеем следующее уравнение:
mv = F + mRQ2 (sin ki + c.os kk) -
- 2тй ( - cos ki+ sin kk) X v - mil X (й X r), (42.2)
где F - действительная сила, действующая на частицу. Пусть Fo - сила
тяжести, действующая в точке О. Пусть g определяется тем, что натяжение
нити со свинцовым грузом массы т, подвешенным в точке О, равно mg.
*) Ср. Аппель [2], II, стр. 248- 253, а также Synge and Griffith [26],
стр. 403-408.
I 421 ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЗЕМЛИ Ц5
Тогда уравнение (42.2) удовлетворяется при
F = F0 + mgk, о = 0, г = 0 (42.3)
и поэтому мы имеем соотношение
F0 + mgk + mRQ2 (sin Ki + cos Kk) = 0. (42.4)
Вычтем теперь (42.4) из (42.2), отбросив последний член в (42.2) в силу
малости Q. Это дает следующие уравнения движения:
тх = X + 2тQ sin К-у, 4
ту = У - 2mQ (sin Я-i + cos К-z), | (42.5)
mi ь= Z - mg + 2/nQ cos К- у, J
где (X, Y, Z) - компоненты разности между полной дей-
ствительной силой, действующей на частицу, и силой тяжести, действующей
на нее в точке О.
В случае свободной частицы (снаряд в вакууме) мы полагаем X = Y - Z - 0,
если можно пренебречь изменением силы тяжести с положением. Пренебрегая
величинами порядка Q2, мы получаем для частицы, начинающей двигаться от
начала координат в момент временя t = 0 со скоростью (и0, Vo,'w0),
следующие уравнения движения:
х = v0t + Qi'0?2 sin К,
у = v0t - Qt2 (и0 sin К + со о cos Я) +
+ -g Qgt3 cos Я,
j
z = w0t 2 gt2 + Qv0t2 cos Я.
(42.6)
В свободном падении с высоты h (из состояния покоя) частица отклоняется к
востоку на величину
11Й ТРЕХМЕРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ |ТЛ. IV
Для снаряда, движущегося по настильной траектории (wo - мало), проекция
радиуса-вектора на горизонтальную плоскость Оху возрастает с постоянной
скоростью и поворачивается также с постоянной скоростью -Q sin Х\ это
означает отклонение направо в северном полушарии и налево - в южном
(закон Фереля).
§ 43. Маятник Фуко*). Частица массы т подвешена на легкой нити длиной I в
точке (О, О, 1) (ср. рис. 12). Тогда О есть положение равновесия и если
частица выведена из него, то она движется согласно уравнениям
(42.5), в которых
X = -~S, y = -ILs, Z = L-^S, (43.1
I I I
где S - натяжение нити. Для малых возмущений z - величина второго порядка
малости, и мы получаем следующее соотношение:
S - Z = mg - 2тQ cos Х-у, (43.2)
как следствие последнего из уравнений (42.5). Два других уравнения
принимают вид
х - 2Q sin X- у + р2а; = О,
• ¦ 2 (43.3)
у + 2 ?2 sin %'Х + р у - О,
где ра = g]l. Вводя переменную ? = х + iy, мы записываем оба эти
уравнения в виде
? - 2iQ sin А,-?-1-рг? = 0, (43.4)
а его решение, пренебрегая Q2, в виде
I = (Aeipt + Be~ipt) е~ш sin к (43.5)
Первый множитель справа представляет движение по неподвижному
центральному эллипсу, второй множитель
!) Ср. Аппель [2], т. II, стр. 254-257; Synge and Griffith [26], стр.
408-411.
§ 43]
МАЯТНИК ФУКО
117
превращает его в эллипс, вращающийся с угловой скоростью- Q sin К;
вращение направлено по часовой стрелке в северном полушарии и против нее
- в южном.
Вращение Фуко нельзя смешивать с похожим явлением, имеющим место в случае
малых колебаний сферического маятника (§ 39). Если маятник начинает
движение из положения покоя (например, при пережигании поддерживающей
пити), то орбита должна была бы быть прямой линией, если бы Земля не
