Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синг Дж.Л. -> "Классическая динамика" -> 40

Классическая динамика - Синг Дж.Л.

Синг Дж.Л. Классическая динамика — М.: Физматгиз, 1963. — 448 c.
Скачать (прямая ссылка): klassicheskayadinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 124 >> Следующая

Так как a\ - ускорение частицы относительно тела S, то согласно чисто
кинематической формуле (46.9) имеем следующее уравнение:
2 (50'2>
i=i р = , dqp dqp!
где T'(q, q') - кинетическая энергия движения относи-
тельно S, т. е.
. р _ . р
Т' (q, q) = -j 2 mir'i-r\ = -^ 2 miv'i2- (50.3)
i~ 1 /-1
Для того чтобы провести суммирование в уравнении (50.1а) по другим
индексам, определим прежде всего обобщенные силы Qp следующим образом:
2Frbr'i = 2 QPbqP; (50.4)
i=l Р=1
§ 501
ДВИЖУЩИЕСЯ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА
141
это - работа, произведенная активными силами; в течение виртуального
перемещения система отсчета S остается неподвижной. При этом силы реакции
связей не входят в Qp. Затем определяем Ар, Вр, Ср (р = 1, . . . . . N)
уравнениями (ср. с (32.2)):
Р Р N -j
2 Fо i * бг* i - 2 TfbiCL о • б/* i 2 Л p6gp,
г'-1 г=1 р-1
1> Р N
в которых вариации бqp - произвольные. В этих выражениях а о и а>
являются соответственно ускорением полюса О (неподвижного относительно S)
и угловой скоростью тела S; они даны как функции t (так как движение S
задано). Отсюда 4Р и Ср - функции переменных (q, t),
в то время как Вр - функция (q, q, t).
После этих предварительных замечаний мы можем использовать уравнение
(50.1а) для того, чтобы получить уравнения в форме Лагранжа для движения
системы относительно тела S в виде
2 2 т (и X v't).br't = 2 Bpbqp,
p=i
Р
Р
Р
2 Fti&rl
2 т (to X r'i) br'i - ш 2 mi (to.n) 6r't 4
p
N
-(- to2 2 mr'i-br'i = 2 C0bq0,
(p = 1, ..., iV); (50.6)
последние три члена, которые являются фиктивными обобщенными силами,
обусловлены движением тела S.
ГЛАВА II
СИСТЕМЫ БЕЗ СВЯЗЕЙ
§ 51. Проблема двух тел. Рассмотрим две частицы с массами mi, т2,
притягивающиеся или отталкивающиеся друг от друга с равными и
противоположно направленными силами, действующими вдоль прямой,
соединяющей частицы, и зависящими только от расстояния между этими
массами. Рис. 13 иллюстрирует случай отталкивания.
Пусть п, г2 - радиусы-векторы частиц относительно некоторого неподвижного
начала координат, и пусть Р - сила, с которой первая частица действует на
вторую. Тогда уравнения движения этих частиц имеют вид
т{г{ = -Р, т2г2 = Р. (51.1)
Радиус-вектор второй частицы относительно первой, очевидно, выражается
так:
г = г2-ги (51.2)
и из уравнений (51.1) получаем
Mr=P, М - • (51.3)
mi -f- т2
Таким образом, отказываясь от абсолютной системы отсчета и употребляя
систему, движущуюся с ускорением и связанную с первой частицей, мы
приводим проблему двух тел к задаче одного тела; при этом масса второй
частицы будет фиктивно изменена1), но сила останется неизменной. Мы можем
теперь приложить к уравнению
(51.3) теорию центральных сил, развитую в § 37. Заметим,
!) Величина М в уравнении (51.3) называется приведенной массой.
§ 51]
проблема Двух тел
143
однако, что F в уравнении (37.1) - сила, действующая на единичную массу;
используя (37.1), мы должны положить F = Р/М, где | Р| - абсолютная
величина силы Р, и Р - положительно для случая отталкивания и
отрицательно для случая притяжения. Потенциал V (37.3) выра-жается теперь
так:
г
V = -M~l I Р dr. (51.4)
Го
Можно также упростить проблему двух тел удачным подбором ньютоновой
системы отсчета.
Согласно (51.1), имеем уравнение
rtiin ~г т2г2 - О, (51.5) которое означает, что центр масс движется без
ускорения; рис. 13. Проблема двух система, в которой он неподви- тел.
жен, является ньютоновой. Вы-
биря эту систему и принимая за начало координат центр масс, имеем
уравнение
rtiin + т2Г2 - 0. (51 .'6)
Тогда достаточно рассматривать в дальнейшем только одно из уравнений
(51.1). Если скалярный закон отталкивания или притяжения имеет вид Р =
Р(г), то второе уравнение из (51.1) можно переписать в виде
Г2 п , \ mi + т2
т2г 2 = -Р(г), г =--------------г2.
г2
т 1
(51.7)
Мы имеем опять задачу одного тела. Теперь масса остается неизменной, а
закон действия силы изменяется. В случае, когда сила обратно
пропорциональна квадрату расстояния между точками, имеем Р = /с /г2 и
движение относительно центра масс определяется уравнением
т2г2 = (---) А г2. (51.8)
тл
т2
144
СИСТЕМЫ ВЁЗ СВЯЗЕЙ
1ГЛ. II
Орбиты двух частиц, рассматриваемые в неподвижной системе отсчета,
представляют собой переплетенные пространственные кривые.
Гораздо проще изучать движение в движущейся системе координат, связанной
либо с одной частицей, как в случае (51.3), либо с центром масс - случай
(51.7). В такой системе орбиты - плоские кривые.
Заметим, что введенное выше предположение, относящееся к взаимодействию
между частицами, исключает из рассмотрения магнитное взаимодействие и
запаздывающие электромагнитные явления.
§ 52. Захват и рассеяниех). Рассмотрим вновь две
частицы, взаимодействующие как в § 51. Пусть г - расстояние между
частицами, а Р(г) - скалярная величина силы взаимодействия, положительная
при отталкивании и отрицательная в случае притяжения. Мы предполагаем,
что при больших г эта сила есть бесконечно малая величина, порядка не
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 124 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed