Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(37.2). Это уравнение2)может быть решено в квадратурах,
0 Об аномалиях, уравнении Кеплера, теореме Ламберта см. Аппель [2], 1,
стр. 332; Уиттекер [28], стр. 101-110. Также Macmillan [17], I, стр. 278-
292, где рассмотрены и отталкивательные силы.
2) Уравнение этого типа приводит, вообще говоря, к периодическим
решениям и часто встречается в динамике. Эллиптические функции можно
рассматривать с помощью таких уравнений; см.
Peres [20], стр. 107-122, Synge and Griffith [26], стр. 364-370.
106
ДВУМЕРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. Ill
так как оно имеет форму
du У 2 (Е-V) 2
' ~ / (и) =----72 и ¦ (37-5)
d(r) ! ЬГ
Для того чтобы связать время t с переменными (и, ¦0), мы имеем согласно
уравнениям (37.1)
41 = ГЙ. = + , (37.6)
^ /ш2 У (и)
знак выбирается так, чтобы дифференциал dt был положительным.
Апсидами какой-либо орбиты являются те точки, в которых г максимально или
минимально. Таким образом, апсидам соответствуют точки и = Ui, и = и2,
где
/ы = 0, /("*)= о. (37.7)
Апсидальный угол, по определению, равен
и=ч2 "2 Л1.
а = ^ d% = ^ dU
U-UI
V / (")
(37.8)
Уравнение всей орбиты можно получить из уравнения части ее, заключенной
между двумя соседними апсидами, так как орбита симметрична относительно
любого апси-дального радиуса. Вся орбита заключена между двумя
концентрическими окружностями (и касается их), но в исключительных
случаях радиус внутренней окружности может обращаться в нуль, а радиус
внешней - в бесконечность.
Заимствуя термины из астрономии, мы можем назвать одну из апсид
внутренней окружности перигелием и одну из внешних апсид - афелием.
Если сила пропорциональна r(F = гк2г, е = ±1), то движение проще
исследовать с помощью декартовых прямоугольных координат; в этом случае
имеем уравнения
х = гк2х, у = ек2у. (37.9)
Если е = - 1, то орбита - эллипс, центр которого сов-
§ 38]
УСТОЙЧИВОСТЬ КРУГОВОЙ ОРБИТЫ
107
падает с началом координат и уравнения которого имеют "вид
х = A cos kt + В sin kt, 1 у = С cos kt + D sin kt. j (37.10)
Если e = -j- 1, решение аналогичным образом выражается через
гиперболические функции. В этом случае орбита - центральная
гипербола. В специальных случаях (при обращении в нуль момента
импульса) орбитой
является прямая линия, проведенная через начало координат. Тогда в случае
е = - 1 мы имеем простой гармонический осциллятор.
§ 38. Устойчивость круговой орбиты. Для круговой орбиты радиуса г = 1 /и
мы требуем выполнения условий
/(и) = 0, /'(и) = 0. (38.1)
Первое условие есть следствие уравнения (37.5), второе же следует из
(37.2), которое эквивалентно уравнению
1^ = 1/". (38.2)
d$2 2
Полагая и = и0 для круговой орбиты, мы пишем для возмущенной орбиты
и = Uq ^ (38.3)
(предполагая, что | - мало) и, отбрасывая члены выше первого порядка в
получаем из уравнений (38.2) и (38.1) следующее уравнение:
g- - { 5/" Ы- 08.4)
Уравнение имеет синусоидальное решение, обеспечивающее устойчивость тогда
(и только тогда), когда выполняется условие
ГЫ < 0. (38.5)
Таким образом, имеет место следующий критерий ус-
.. 1 тоичивости круговой орбиты радиуса г = - , описанной
108
ДВУМЕРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. III
частицей под действием центральной силы притяжения:
т(tm)-1-¦?!(?)<°- (38-в)
Здесь сила F - отрицательна, а сила притяжения по
величине равна mF. Согласно уравнению (37.2) имеем
далее в случае круговой орбиты
Н2 = - 4 • (38-7)
и
Следовательно, критерий устойчивости можно записать в виде
flF
3F < и -- , (38.8)
du
или
3F + г - < 0. (38.9)
dr
Если сила притяжения пропорциональна г~п, то движение устойчиво тогда и
только тогда, когда п < 3.
§ 39. Колебания под действием силы тяжести на неподвижной поверхности*).
Пусть S - гладкая неподвижная поверхность и О - точка на ней, и пусть
касательная плоскость к поверхности в точке О горизонтальна. Пусть Oxyz -
система координат, в которой ось Oz направлена вертикально вверх и
плоскость Оху совпадает с плоскостью, образуемой главными направлениями
кривизны поверхности S, так что приближенно ее уравнение в окрестности
точки О имеет вид
(39Л)
где и R2 - главные радиусы кривизны. Если частица с массой т движется по
поверхности S под действием силы тяжести, ее точные уравнения движения
имеют вид
х = KN, у = pJV, z = vN - g, (39.2)
1) Ср. Аппель [2], 1, стр. 410-442.
§ 39] КОЛЕБАНИЯ НА НЕПОДВИЖНОЙ ПОВЕРХНОСТИ Ю9
где niN - реакция поверхности и к, р, v - направляющие косинусы нормали.
С точностью до величин первого порядка относительно х, у имеем
соотношения
Эти кривые в плоскости ху (называемые фигурами Лис-сажу х)) представляют
собой результат сложения простых гармонических движений с различными
частотами. Это - замкнутые кривые, если ki/k2 - рациональное число; в
противном случае они заполняют 2) весь прямоугольник
Сферический маятник состоит из тяжелой частицы, подвешенной к неподвижной
точке на легкой нерастяжимой нити. По существу, это тот же случай, что и
частица, движущаяся под действием силы тяжести по гладкой неподвижной
сфере. Чтобы исследовать малые колебания, мы полагаем Ri = R2 в
