Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
что этот закон выполняется также в любой системе S, движущейся
равномерно.
ГЛАВА II
ОДНОМЕРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
§ 33. Простой гармонический осциллятор. Затухание.
Простой гармонический осциллятор представляет собой частицу, которая
движется по некоторой прямой под влиянием восстанавливающей силы,
направленной к точке О на этой линии, а по величине пропорциональной
расстоянию частицы от точки О. Если одновременно на точку действует сила
трения, обусловливающая затухание (ее часто называют демпфирующей силой),
пропорциональная скорости и противоположная ей по направлению, а также
вынуждающая сила, то уравнение движения принимает вид
х + 2\хх -f р2х = X, (33.1)
где
восстанавливающая сила = - тр2х, 'j
демпфирующая (сила трения) = -2т\х,х, г (33.2)
вынуждающая сила = тХ, )
пт - масса частицы. Для незатухающего невозмущенного движения осциллятора
движение описывается уравнениями
х + р2х = О, х = a cos (pt -f е),
где а-амплитуда колебания1), ~-период, -
частота, р = 2jtv = ш - круговая частота, pf-fe=cp-фаза, е - начальная
фаза.
!) Иногда амплитудой называют величину 2а, а величину а - полуамплитудой.
7 Дж. Л. Сшгг
(33.3)
98 ОДНОМЕРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. II
Говорят, что для двух значений ср, отличающихся на целое кратное 2л,
осциллятор находится "в одной и той же фазе". Решение уравнения (33.3)
можно также записать в комплексной форме
x = Aeipt, (33.4)
где А - комплексная амплитуда, которая включает фазовую постоянную.
Физическое смещение х равно действительной части комплексного числа
(33.4).
Если X = 0, то общее решение уравнения затухающих колебаний (33.1) в
комплексной форме имеет вид
х = AenS +Веп*(, (33.5)
где пи п2 - корни уравнения
пг + 2 pin + р2 = 0. (33.6)
Эти корни могут быть действительными или комплексными. В
первом случае имеет место непериодическое
движение (апериодическое затухание), во втором - затухающие колебания1).
Если действует демпфирующая сила, а также вынуждающая сила, заданная как
функция времени t, то общее решение уравнения (33.1) будет иметь вид
х =AenS + Вепг* +
+ - ------ ( X (т) |eni<<~l) - dr. (33.7)
щ - п2 J
о 1
Для синусоидальной вынуждающей силы
X-(t) = X0eiqt, (33.8)
решение (33.7) преобразуется к следующему виду:
л* nt , n ( , X0eiqt ( 1 1
x = A enr + В e * + 1
щ - n2 \iq - Hi iq - w2/
(33.9)
i) Так как коэффициент затухания fi положителен, то действительная
часть каждого из корней обязательно отрицательна; детали см. Synge and
Griffith [26], стр. 163-166.
§ 3'.]
КРУГОВОЙ И ЦИКЛОИДАЛЬНЫЙ МАЯТНИКИ
99
где А' и В' - новые произвольные постоянные. При t -" со два первых члена
исчезают и мы получаем для выражения вынужденных колебаний
Амплитуда велика (резонанс), если малы (р - q) и р, т. е. если частота
возмущающей силы близка к частоте незатухающего свободного колебания, а
затухание мало1).
§ 34. Круговой и циклоидальный маятники. Рассмотрим частицу массы т,
движущуюся под действием силы тяжести по гладкому вертикальному кругу
радиуса I (круговой маятник). Если ¦0' - угол отклонения от направленной
вниз вертикали, то полная энергия этой частицы равна
Для малых амплитуд оно сводится к уравнению (33.3) для гармонического
осциллятора и период колебания равен
Вообще мы получаем колебательное движение, если
!) Ср. (104.19), которое является обобщением уравнения
(33.10) на случай колебания системы с большим количеством степеней
свободы.
х =
X0eiqt X0eiqt
. (33.10)
(iq - Hi) (iq - n2) p2 - q2 + 2ipg
m,l2$2 + mgl (1 - cos O') = E = const, (34.1)
и уравнение движения имеет вид
О + р2 sin О = 0, р2 = . (34.2)
(34.3)
(r)о = | г> |#=о < 2р, и движение определяется уравнением
1 1
sin - О = sin a sn р (t - f0),
(34.4)
(34.5)
100 ОДНОМЕРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ [ГЛ. II
где а - максимальное значение Ф, так что
sin а - -i- -1 . (34.6)
^ Л р
Величина tо в уравнении (34.5) - произвольная постоянная и эллиптическая
функция Якоби sn имеет в качестве
п • 1
модуля1) sin-а.
Период колебания выражается следующим образом: 1
2Я
4 г. dcp
Т р з ф/l - /с2 sin2 ф
-7[1 + Ст)'*'+(п),"+-]- <3">
• 1 2
где к = sin - а; это дает с точностью до членов порядка сг
т"211 VLe (' + Гб) • (34'8)
Если со0 > 2р, движение уже не является колебательным, частица описывает
круг за кругом по окружности. В этом случае решение2) таково:
sin = sn ^ (t - t0), (34.9)
где к = 2p/(o0 < 1, и модуль функции sn есть к.
Если юо = 2р, то частица достигает наивысшей точки круга при t~ со ;
движение определяется формулой
sin -г,- О = th р (t - t0). (34.1U)
Для движения под действием силы тяжести по некоторой гладкой кривой в
вертикальной плоскости урав-
!) Уиттекер [28], стр. 88; Synge and Griffith, [26], стр. 371.
2) Уиттекер [28], стр. 88-89.
§ 34] КРУГОВОЙ И ЦИКЛОИДАЛЬНЫЙ МАЯТНИКИ Ю1
нением движения является следующее уравнение:
f] 7
's+gjs = 0, (34.11)
где s - длина дуги и z - высота над некоторым фиксированным уровнем. Если
z = ks2, (34.12)
то получаем уравнение
s + 2 gks = О,
т. е. уравнение того же вида, что и для гармонического осциллятора.
