Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синг Дж.Л. -> "Классическая динамика" -> 32

Классическая динамика - Синг Дж.Л.

Синг Дж.Л. Классическая динамика — М.: Физматгиз, 1963. — 448 c.
Скачать (прямая ссылка): klassicheskayadinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 124 >> Следующая

изложенной выше теории; период колебания равен
и орбита (39.5) является эллипсом с центром, совпадающим с началом
координат.
Значительно болёе сложны конечные колебания под действием силы тяжести на
гладкой сфере. Выбирая центр сферы за начало системы координат, ось Oz
которой
# , v = 1; (39.3)
К-ч
отсюда N = g и
X + к\х = 0, у + к\у = 0, 'I
(39.4)
Решение имеет вид
х - A cos (kit В), у = С cos (k2t -f- D).
(39.5)
z2<H2, г/2< С2.
e
(39.6)
!) О получении фигур Лиссажу с помощью маятника Блэкберна см. Ламб [13],
стр. 101-103.
2) Ср. Аппель [2], 1, стр. 427.
110
ДВУМЕРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. III
направлена вертикально вверх, мы найдем четыре уравнения
x = --N, у =- У-N, z -------------------- N - g,
а а а ё J. (39.7)
2 , 2 I 2 2
X + у + z = а ,
где а - радиус сферы. Затем можно использовать либо сохранение энергии
(т.Е), либо сохранение момента импульса (mh) относительно оси Oz. Мы
получаем уравнения1)
(я2 - г2) ф = A, z2 = / (z), 2 'j
, Z 2ч I Е\ h
{z -а)(, )
, } (39.8)
J
в которых (г, ср, z) - цилиндрические координаты. Три корня Z\, z2, z3
кубического уравнения )(г) обязательно действительные и удовлетворяют
условию - я<г!<г2< < а < z3 и решение может быть выражено следующим
образом с помощью эллиптических функций:
z - Zi = (г2 - Zi) sn2 p(t - to), ]
z2 - z = (z2 - Zi) cn2 p(t - t0), [ (39.9)
z3 - z = (z3 - Zi) dn2 p(t - to),
где
g(z 3 - Zi)
2a
(39.10)
и модуль эллиптических функций равен к, где
fc2 = f2jZ_fi (3g И)
Z3 - Zi
Когда колебания малы, проекция орбиты на плоскость ху есть небольшой
эллипс, который вращается на малый угол ЗЛ/4я2 за оборот орбиты; А -
площадь эллипса. Это вращение (в том же направлении, в каком описывается
орбита) нельзя смешивать с вращением Фуко (ср. § 43).
9 Детали доказательства см. у Аппеля [2], т. 1, стр. 433-442; Synge and
Griffith [26], стр. 375-381.
ГЛАВА IV
ТРЕХМЕРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
§ 40'. Заряженная частица в электромагнитном поле1). Когда частица с
массой т, несущая электрический заряд е, движется в электромагнитном поле
с электрическим вектором Е и магнитным вектором Н, уравнение движения2)
имеет вид
ma = e{E+v X Я). (40.1)
Это дает уравнение:
| (1 mj) = а.В, (40.2)
следовательно, если Е имеет потенциал3) {Е = - grad F), то интеграл
энергии имеет вид
mv2 + eV = const. (40.3)
Li
Если E и H - константы (однородное электромагнитное поле), то уравнение
(40.1) легко решается следующим образом. В случае, если Н = 0,
траекторией будет парабола. Если Н ф 0, мы представим v в форме
v^ViE + VzH+VtExH. (40.4)
1) Ср. Аппель [2], 1, стр. 315.
2) Мы измеряем Е в электростатических единицах, а Н - в электромагнитных;
если Н выражено в электростатических единицах, то вместо v нужно
подставить и/с, где с - отношение этих единиц, т. е. скорость света.
Релятивистские уравнения имеют ту же правую часть, что и данное
уравнение. Ср. (115.8).
3) Это условие всегда выполняется, если поле не зависит от времени.
112
ТРЕХМЕРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. IV
Подставляя это значение в уравнение (40.1) и записывая в компонентах,
получаем следующие соотношения:
vt = - АН sin (kHt + В), ЕН
v2 = С -
IB
fkt - АН sin (kHt + B)},
(40.5)
г? = -2 - A cos (kHt + В), Н
где к - - е/т и А, В, С - постоянные интегрирования. Радиус-вектор
частицы, представленный в форме аналогичной (40.4), определится тогда
интегрированием уравнений (40.5).
Если и электрическое и магнитное поля оба постоянны и ортогональны, мы
имеем Е-Н = 0 и отсюда v2= const. Направляя оси Oxyz по векторам Е, Н, Е
X //, так что
х = viE, у = v-JB, z = v3EH, имеем затем
х = х0 + А' cos (kHt + В),
У = Уа + С <,
z = z0 + - А' sin (kHt + В),
Н
(40.6)
где А'= АЕ/к, С' = СН. Если С = 0, то уравнения представляют движение по
окружности в плоскости, перпендикулярной к Н с угловой скоростью кН; при
этом центр окружности движется по прямой линии, перпендикулярной к Е и Н
со скоростью Е/Н.
Если Е - 0, то траектория - круговая спираль с осью, параллельной
магнитному полю, описываемая частицей с азимутальной угловой скоростью
Helm.
§ 41. Аксиально-симметричные электромагнитные поля. В статическом
электромагнитном поле электрический потенциал V и магнитный потенциал Q
являются гармоническими функциями. Если поле имеет ось z осью сим-
J41) АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ из
метрии, эти функции могут быть разложены в степенные ряды
где i?2 = х2 + у2, и мы находим из уравнения Лапласа следующие
соотношения:
и аналогичные уравнения для Q, так что коэффициенты в разложениях (41.1)
зависят только от аксиальных потенциалов Vq, Qo- Уравнения движения
(40.1) заряженной частицы, движущейся вблизи оси z, могут быть
рассмотрены приближенно. Из интеграла (40.3) находим z = ги, w2 = 2k(Vо -
С), где к = -е/т и С = const, и после исключения времени получаем
комплексное уравнение траектории:
ные функции z. Это дифференциальное уравнение второго порядка -
фундаментальное в электронной оптике; им в основном и определяется
образование изображения в электронном микроскопе1). Чтобы исследовать
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 124 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed