Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
энергии
Т -f V = const. (45.4)
Это фундаментальное уравнение будет выведено еще раз в § 46 в более общей
форме (46.21).
§ 46. Уравнения Лагранжа. Игнорируемые координаты. а) Общая теория.
Рассмотрим систему из Р частиц, такую же, как в § 44 и 45. Предположим,
что система подчинена связям, вообще говоря, реономным и неголо-номным.
Пусть ?р(е = 1, . ¦ N) - обобщенные координаты, так что радиусы-векторы
частиц можно записать как функции:
П = rtiq, t) (i = 1, . . ., Р). (46.1)
Пусть уравнения связей имеют вид (28.2), т. е.
2 Acpdqp +Acdt = 0 (с = 1, .... М), (46.2)
p=i
где коэффициенты - заданные функции N + 1 переменных (д, <). Скорости
частиц выражаются уравнениями
122
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИИ
(l'JI I
так что компоненты скорости являются функциями 2N + 1
переменных (q, q, t). Как легко проверить, частные производные этих
функций удовлетворяют уравнениям
* <9г; _ дг{ дп __ d drt
dqp dqp ' dqp dt dqp
(i = 1, P; q = 1, ..N).
Кипетическая энергия
1 11
I'=2^i'vn,
i=1
(46.4)
(46.5)
также является функцией (q, q, t) и ее частные производные имеют вид
дТ
dqP
дТ
д'Яр
тп}п
дп
dqP
Ът1П-р-
^ dqp
Ш;Г,
/= 1
i = 1
дп
dqP
(46.6)
J
Отсюда, принимая во внимание систему уравнений (46.4), приходим к
уравнениям
d дТ dt dqp
дТ
dqP
Р
^ mir'' i=l
drj
dqP
(6 = 1, ...,iV). (46.7)
Пусть bqp (q = 1, . . ., N) - произвольная совокупность бесконечно малых
величин и пусть бгг - соответствующие им смещения частиц системы,
полученные дифференцированием уравнений (46.1) при фиксированном t,
§ 46] УРАВНЕНИЯ ЛАГРАU5KA. ИГНОРИРУЕМЫЕ КООРДИНАТЫ 123
Умножая уравнения (46.7) на 6qp и суммируя по Q, получаем уравнение
(tm)(ddT дТ\к * с m
p=i i=i
Отметим, что это чисто кинематический результат. При получении его не
использованы ни силы, ни уравнения движения; оно не включает также и
уравнений связей (46.2).
Вводим затем обобщенную силу Qp (29.6), представленную в виде двух
слагаемых, как в (29.6):
Qt = QP + QP (в = *. • ¦ N), (46.10)
где Qp - заданная (или приложенная) сила, a Q'p - сила реакции связей.
Предполагаем, что связи не производят работы в том смысле, что
S<?'6<7P = 0 (46.11)
р=1
для всех значений б др, удовлетворяющих условиям
2Лср6<7р = 0 (с = 1, 2, ..., М). (46.12)
p=i
Вернемся теперь к принципу Даламбера в форме
(45.1). Выберем какие-нибудь б <?р, удовлетворяющие условиям (46.12), и
пусть б г* - соответствующие перемещения частиц системы, данные формулой
(46.8). Заменим первый член уравнения (45.1) с помощью уравнения
(46.9); для последнего члена уравнения (45.1), приняв во внимание
(46.11), имеем
ей/ = s QI б?р = 2 <?рб?р. (46.13)
p=i p=i
Таким образом, уравнение (45.1) преобразуется к виду
|,(lf(46Л4)
для всех б<70, удовлетворяющих условиям (46.12).
124
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
1ГЛ. 1
Из этого последнего уравнения получим лагранжевы уравнения движения
неголономной системы,
d VT_dT=Q+^ ^...............................................(е =
1............................................N)]
dt dqp dqp ^
(46.15)
где Oc - неопределенные множители. К этим уравнениям нужно добавить
уравнения связей (46.2) в форме
2 Acpqp + Ас = 0 (с = 1.......М), (46.16)
p=i
так что имеем N -f- М уравнений для определения N + М величин (qp, $с).
Можно записать уравнения (46.15) для любой системы в явном виде, как
только мы зададим вид функции Т и функций Qp. Последние функции легче
всего получить, вычисляя работу 6W и используя (46.13).
Р) Голономные системы. Для голономной системы можно принять за N
наименьшее возможное число обобщенных координат. Тогда члены с
множителями ¦& исчезают из уравнений (46.15) и лагранжевы уравнения
движения для голономной системы имеют следующий вид:
d дТ дТ _ . ... ...
-z-т-.- -r~ = Qр (в = 1......N)- (46-17)
dt dqp dqp
Но даже когда система голономна, иногда удобно рассматривать число
координат больше, чем минимально необходимое. Тогда система уравнений
движения состоит из уравнений (46.15) и из (интегрируемых) уравнений вида
(46.16).
Если силы голономной системы имеют потенциальную функцию, т. е. имеют
место уравнения (29.9) (другими словами, система имеет потенциальную
энергию) или если существует обобщенная потенциальная функция вида
(29.11), то уравнения движения можно записать в следующей форме:
7tP~ir = 0 (46.18)
dt dqp dqp
S 401 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ИГНОРИРУЕМЫЕ КООРДИНАТЫ 125
где
L = Т -V. (46.19)
Здесь L - функция 2N + 1 переменных (q, q, t ; она называется лагранжевой
функцией или кинетическим потенциалом. Особое достоинство уравнений
(46.18) состоит в том, что уравнения движения системы могут быть
составлены сразу, если задана одна-единственная функция. Необходимо
указать также, что если две различные физические системы имеют лагранжеву
функцию одной и той же формы, то они ведут себя одинаково.
Если умножить уравнения (46.18) на qp и просуммировать по д, то результат
можно преобразовать к виду
dll"w,-L)+%-0- (46'20)
Если L не зависит явно от t (а это может быть даже в случае реономной
