Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
получаем уравнения
Используя уравнения (47.1), мы можем теперь написать уравнения Лагранжа
(46.18) в форме
Это - уравнения движения в форме Гамильтона; их называют также
каноническими уравнениями. Переход от лагранжевых уравнений к уравнениям
Гамильтона - чисто математический процесс, не имеющий никакого отношения
к исходной динамической системе. Для любой системы, описываемой
уравнениями Лагранжа в форме (46.18), будут иметь место уравнения
Гамильтона; в
N
II (г/, t, р) = 2 РрУр -L. р
(47.4)
дН_ = . dll _ _ dL dll _ dL
dpp qp' dqp dqp ' dt dt
(6 = 1, N). (47.6)
7p = t-
dlf
dpP '
Гр = --Я- (e = 1, Ю- (47.7) dqP
Лиг Л. r.nrir
130 СРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 1ГЛ. 1
частности, уравнениями движения любой голономной
системы (реономной или склерономной), допускающей потенциальную функцию V
или обобщенную потенциальную функцию, будут уравнения (47.7).
Можно определить скорость изменения II, принимая во внимание систему
(47.7):
хл / дН . . дН . \ , дН дН ...
11 == 2 h- + !Г-рр Г1~ = Т*- ¦ (4'-8)
р =i v дЧр др" ) dt dt
Таким образом, если Н не зависит явно от t, т. е. - 0,
1 dt
то как следствие имеем
II = const. (47.9)
Это равенство можно называть интегралом энергии. Если Т представлено
суммой (46.22), Т=Т2-\-Т\-\-Тй и V = V(q), то
л ПТ
Н - У Яр -- -1> = Гг - То + V. (47.10) р=1 дЯр
Если Т = Тг (случай, наиболее часто встречающийся в динамике), то получим
Н = Т + V, (47.11)
так что в этом случае Н равно полной энергии системы, т. е. сумме
кинетической и потенциальной энергий.
Если, кроме сил, имеющих потенциальную функцию V (или обобщенную
потенциальную функцию), на систему действуют силы Qp, то уравнения
Лагранжа (46.18) преобразуются к виду
(с =1 N>• <47'12)
dt dqp dqp
Для того чтобы преобразовать эти уравнения к форме гамильтоновых,
заметим, что уравнения (47.6) были получены чисто математическими
преобразованиями безотносительно к уравнениям движения и поэтому они
имеют место и в данном случае. Следовательно, уравнения
48]
УРАВНЕНИЯ АППЕЛЯ
131
Гамильтона (47.7) примут вид
дН дН , _
Яр г ' Рр " т Vp
дрр dqp
(Q= 1,-----N).
(47.13)
§ 48. Уравнения Анпеля !). Для системы из Р частиц тергия ускорения
определяется следующим выражением:
1
(48.1)
где в выражении кинетической энергии скорости заменены ускорениями. Если
qp(Q = 1, . . N) - обобщенные координаты, так что г; = г; (q, t), то,
очевидно,
V дг1 ' , dri
r'e2i^p-
р=1
dt
•:.= v ?и-п л. v д*п
>г -J дЯр " дЯр dqa
Яр Яа
(48.2)
0=1
р, 0=\
,2V д*п •
+ 2 /j а Яр
д2п
р=1
dqp dt
dt2
Мы можем, следовательно, написать
S = S(q,q,q,t). (48.3)
Эта функция ЗА + 1 переменит х называется функцией Аппеля\ она второй
степени относительно производных qp
и ее частные производные по qp выражаются следующим образом (ср. (46.7)):
dS хт " (r)ri хт " drt d dT dT
V туг,-- = 2j = 7T"
dqp it! dqp Й дЯр di dqp дЯ"
iP i= 1
(e = ! m-
(48.4)
!) Cp. P. Appel, Sur une forme generale des equations de la dynamique.
Paris.: Gauthier - Villars, 1925; Аппель [2],
II, стр. 322-343; Nordheim [18], стр. 69; Peres [20], стр. 219.
9*
132
У РЛ Г) IIE1III <1 Д ПП/КЕIIHII
Ц'Л. I
Таким образом, если система голономна п если обобщенные координаты др
образуют систему координат с наименьшим числом независимых координат, то
уравнения Лагранжа (48.18) приводят сразу к уравнениям движения Аппеля'.
Предположим теперь, что на систему наложены связи
связи, вообще говоря, неголономные, так что уравнения Лагранжа надо
писать в форме (46.15). Используя чисто кинематический результат (48.4),
можно выразить уравнения (46.14) следующим образом:
2 AcPqP + Bc{q, q, 0 = 0 (с = 1, . . ., М), .(48.10)
р=1
где Вс - функции указанных 2N + 1 переменных. С помощью этих последних
уравнений можно выразить
dS " /А А т\
" = <?р (Q= 1, . . ., ЛГ).
(48.5)
(46.2):
Л'
2 Acpdqp + Acdl (с 1, ..., М), (48.6)
Р = 'I
(48.7)
для всех bqp, удовлетворяющих условиям
N
2 Acp6qp = 0 (с = 1, ..., М). (48.8)
Р =1
Согласно (48.6) имеем уравнения связей
N
1!ЛрдР + Л = 0 = (48.9)
Р=1
и отсюда дифференцированием по t получаем
N
q 1, . . ., qM через 3N - М + 1 величин
<7i> •••> <7л:! .......................... <7\. <7м + 1. •••.
q.s, t.
5 4S1 .vi'AlillF.lIllil Л1ШКЛП 13;}
Итшс, мы можем написать
S (</l, • ••, Яу, (} 1, qy, <ji, •••, Я.У, 0 =
= ~S (qu ..., qN, qi: . .., qNl qM + i, qy, I). (48.11)
Если мы придаем вариациям bqu . . ., бqy произвольные значения,
удовлетворяющие только условиям
2Асрб?Ур = 0 (с == 1, ...,М), (48.12)
p=i
то из уравнений (48.10) и (48.11) следует, что
2 ~ "". - 2 # "*• (48-13)
Si 9""
Это эквивалентно утверждению, что
2 "г" = 2 (48'14)
tZi дЯр rZ?+id(Jr
для всех вариаций 6qu . . ., бд^, которые удовлетворяют условиям
2 4ср6<7" = 0 (с - 1, ..., М). (48.15)
p=i
Определим теперь QM +1, . . ., Qy следующим условием:
2 Qpbqp = 2 Qrbqr (48.16)
р = 1 r=M + i
для всех вариаций, удовлетворяющих (48.15). Тогда согласно (48.14) и
(48.16) мы можем переписать уравнение
(48.7) в форме
