Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому главный вектор и главный момент определяются следующими
формулами:
р р
F=2^b C-Sr,xft, (26.3)
{=1 i=l
в которые входят только внешние силы. Тот факт, что внутренние силы можно
исключить, имеет фундаментальное значение в ньютоновой динамике.
Работа, произведенная силой4) F при перемещении ее точки приложения на б
г, равна Fbi", в случае системы сил работа выражается формулой
бТГ = 2*г6гг. (26.4)
i
Если силы действуют на твердое тело, и это тело испытывает бесконечно
малое перемещение, состоящее из бесконечно малого поступательного
перемещения бг0 и бесконечно малого вращения б% вокруг полюса, то
бп = бго + бзс х г\, (26.5)
4) Часто употребляют слово "эквивалентна", но это неточно, так как
эквивалентность имеет место только в том случае, когда частицы, на
которые действуют силы, образуют твердое тело.
2) Данные о моторной еимволике см. в § 49.
3) Ср. Peres [20], стр. 9.
4) Работа против этой сплы равна - Fbr.
0 11т Л Синг
Н2 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАСС И СИСТЕМЫ СИЛ |ГЛ. III
где r'i - радиус-вектор относительно опорной точки. Работа, произведенная
на этом перемещении, равна
вТУ = ^.вг0 + S Ft(6xXri) = F.6r0 + G6x, (26.6) 2=1
если воспользоваться обозначениями уравнений (26.2).
Пусть дана плоскость П, проходящая через точку О. Любое бесконечно малое
вращение вокруг точки О можно разложить на два бесконечно малых вращения:
на вращение (6i3() вокруг оси, перпендикулярной к плоскости, и на
вращение (бгХ) вокруг оси, лежащей в П. Если пара сил состоит из двух
равных по величине и противоположных по направлению сил (с абсолютной
величиной Р и расстоянием между ними р) в плоскости П, то работа,
произведенная парой сил при бесконечно малом вращении, равна + pP&i%.
Знак берется в зависимости от того, совпадают или нет направления пары и
вращения.
Если две равные и противоположно направленные силы F, -F действуют на
точкиг,г', тогда работа, произведенная при произвольном бесконечно малом
перемещении, равна
6TF = H(6r-6r'). (26.7)
Если, кроме того, силы направлены вдоль линии, соединяющей точки,
мы можем написать F = й (г-г'), где
д - некоторый скалярный множитель, . и выражение
(26.7) примет вид
6TF = й (/' - г')-6 (г - г'). (26.8)
Это выражение обращается в нуль, если расстояние |г - г'j не изменяется
при перемещении. Так как по третьему закону Ньютона реакции между любыми
двумя частицами системы удовлетворяют приведенным выше условиям,
наложенным на F, то отсюда следует, что реакции в твердом теле не
производят никакой работы. Другими случаями сил, не производящих работы,
являются: а) реакции гладких контактов; б) реакции контактов качения (без
сцольжения). Все такие реакции исчезают из тех общих уравнений динамики,
которые основаны на понятиях энергии или работы.
ГЛАВА IV
ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ
§ 27. Голономные системы. Связи, зависящие от времени. Конфигурацию
системы, состоящей из Р частиц, всегда можно описать, задав 3Р координат
частиц. Однако если эти 3Р координат должны удовлетворять уравнениям
связей, то достаточно меньшего числа координат. Так, если система
неизменяемая и имеет неподвижную точку, достаточно трех координат
(например, углов Эйлера; §11). Любая совокупность параметров, которая
полностью определяет конфигурацию системы, называется обобщенными
координатами, а скорости их изменения - обобщенными скоростями.
Предположим, что N обобщенных координат qp (и это число не может быть
уменьшено) описывают конфигурацию системы. Предположим также, что можно
изменять координаты qp произвольно и независимо, не нарушая связей
(например, жесткие связи); тогда система называется голономной с N
степенями свободы.
Примеры голономных систем (с указанными числами степеней свободы):
твердое тело, имеющее неподвижную точку (3), свободное твердое тело (6),
твердое тело, движущееся параллельно плоскости (3), твердое тело,
касающееся неподвижной плоскости (5). Система может быть подчинена
связям, меняющимся со временем (например, частица должна двигаться по
поверхности, которая сама движется некоторым заданным образом). Тогда для
описания конфигурации системы, кроме обобщенных координат qp, следует еще
ввести и время t. Система голономна, если произвольные независимые
изменения qp и t не нарушают связей. Система
6*
84
ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ
[ГЛ. IV
с не зависящими явно от времени связями называется склерономной, система
со связями, изменяющимися со временем - реономной.
Если (xt, xji, zj - координаты i -й частицы системы в неподвижной системе
координат Oxyz, то обобщенные координаты должны быть выбраны так, чтобы
выполнялись уравнения
3-г ~ %i (Qh Qh ¦ ¦ ¦ i QNi Oi Ui " J/i (7l* ¦ ¦ ¦ i
Zi = Zj (qu q2, . . . , qN, t), (27.1)
причем в случае склерономной системыl) t не входит в уравнения.
Кинетическая энергия реономной системы равна
т = 12 m'+ Я + (r) =
*=1
1 N N
- ~2 2 ap°qpqa 2 Яр^р а'' (27.2)
р, 0=1 р=1
здесь ар0, ар, и а - функции qu q2, . . ., qN, t. Для
склерономной системы это выражение сводится согласно определению Т к
