Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
г = xlyjzK. (28.6)
Пусть (i,j, к) - второй ортонормальный триэдр с началом в точке С, вектор
/ направлен в точку касания, j - горизонтально, к - перпендикулярно
к плоскости диска. Пусть Ф- угол наклона вектора/ к оси К, ф - угол
наклона к оси / касательной к диску в точке контакта и ф - угол наклона
Неподвижного радиуса в диске к /. Тогда (если Ь равно радиусу диска)
Рис.. 10. Круглый диск, катящийся по плоскости.
z = Ъ соз -&
(28.7)
и (х, у, й, ф, i|j) образуют систему обобщенных координат. Скорость
центра С равна
v = xI-\- yj - Ъ sin й'&А',
(28.8)
1) Динамику катящегося диска см. Аппель [2], гл. 21.
88
ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ
(ГЛ. IV
а угловая скорость диска
ш = - bj + <рК + ij>&; (28.9)
в этом можно убедиться, поочередно изменяя углы. Отсюда, согласно (19.2),
мгновенная скорость частицы диска, находящейся в контакте с плоскостью,
равна
v + ш X bi = xI-\-yJ - b sin ftftК + iftA + b (ij) -f- Ф sin ft) j,
(28.10)
так как
К - - cos fti + sin ftft. (28.11)
В результате подстановки соотношений j = cos ф/ + sin ф J,
/OQ A 0\
A = cos ft sin ф/ - cos ft cos ф J + sin ft К J
в (28.10), условие качения приводит к следующим двум неинтегрируемым
уравнениям связей:
х + Ъ cos ft sin ф& + Ъ cos ф (ij) + sin А'ф) = 0, у - b cosft cos фИ + b
sin ф (т|э + sin А'ф) = 0.
(28.13)
Диск имеет 5-2 = 3 степени свободы.
у) Два колеса, соединенные осью, которые катятся по плоскости.
Предположим, что каждое колесо свободно вращается вокруг оси (если бы они
оба были неподвижно прикреплены к оси, то это была бы голономная система
с одной степенью свободы). Пусть Ъ - радиус каждого из колес и 2с - длина
оси. Выберем обобщенные координаты {х, у, ft, ij), ijj'), как показано на
рис. И. Вычислим затем компоненты мгновенной скорости - параллельные и
перпендикулярные к оси - двух частиц в точке касания и приравняем эти
компоненты нулю, чтобы удовлетворить .условию качения. Тогда получим
следующие три уравнения связей:
х cos ф + у sin ф = 0,
- х sin ф + у cos ф + сф + = 0,
- х sin ф + у cos ф - сф + 2п)>' = 0.
(28.14)
8.2V] ОБОБЩЕННЫЕ СИЛЫ. РАБОТА. ПОТЕПЦИАЛЫ1. ФУНКЦИЯ 89
Последние два дают интегрируемую комбинацию
2сф + b (ф - -ф') = 0. (28.15)
Если заданы начальные значения трех углов, то в результате интегрирования
имеем
2сф = А - Ъ (ф - ф'), (28.16)
где А - заданная постоянная. Можно затем взять (х, у, ф, г|/) в качестве
обобщенных координат, имея при этом
Рис. 11. Два колеса, соединенные осыо, которые катятся по плоскости.
два неинтегрируемых уравнения связей:
х cos ф + у sin ф = 0,
- х sin ф + у cos ф + b (ф + тр') = 0. (28-17)
Система имеет 4 - 2 = 2 степени свободы.
§ 29. Обобщенные силы. Работа. Потенциальная функция. Рассмотрим систему
Р частиц, вообще говоря, рео-номную и неголономную. Пусть на частицы с
координатами (xt, yit г;) действуют силы с компонентами (Xt, Г*,
90 ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ [ГЛ. IV
Zf). Тогда для любой совершенно произвольной совокупности бесконечно
малых перемещений частиц работа, произведенная этими силами, равна
(причем все связи не принимаются во внимание):
bW = 2 (X*6z, + Y*бг/г + Z*6zt). (29.1)
i =1
Если теперь конфигурации системы описываются с помощью (qa, t), то мы
получим уравнения вида (27.1). Следовательно, работа, произведенная при
перемещении, соответствующем произвольным вариациям (6д0, бt), равна
N * *
6W= 1 Qp6q0 + Q bt, (29.2)
p =i
где
v=2(x''i+Y'w"+zti,')' (29-3)
Q-i {X'df + Y'^ + Z'li)- <29-4)
Величины Qp называются обобщенными силами; обычно их легче вычислить по
формуле (29.2), чем по формуле
(29.3).
Полная сила (X*, Y*, Z*), действующая на частицу системы, может быть
разложена на две части:
(Xt, Yj, Zi) - заданная сила1), например, такая, как сила притяжения,
(Х(, Y'i, Zi) -сила связи. (29.5)
Следовательно, полная обобщенная сила Qp может быть разделена на две
части:
Qp = QP + Qp, (29.6)
так что Qp - заданная обобщенная сила, a Q'p - обобщенная сила связи.
Предположим, что Qp - известные функции
г) Называемая также приложенной силой.
§29] ОБОБЩЕННЫЕ СИЛЫ. РАБОТА. ПОТЕНЦИАЛЫ!. ФУНКЦИЯ 91
переменных qit . . ., qN, t, q 1, . . qN и, возможно,
также вторых производных q\, . . ., qN.
Важность такого разложения полной силы обусловлена тем фактом, что во
многих динамических системах силы связей не производят работы; под этим
подразумевается, что эти силы не производят работы при перемещении б <7Р,
удовлетворяющем мгновенной связи (при бt = 0). Это заключает в себе
условие
= 0, (29.7)
р =i
так что работа, произведенная всеми силами при этом перемещении, равна
6РЕ = 2 Qp6qp. (29.8)
р =i
Если существует функция V(qi, . . ., qN, t), такая, что имеют место
равенства
8V
<?Р = - , (29.9)
dqP
так что согласно (29.8) произведенная при перемещении работа выражается
через V следующим образом:
bW = - 67, (29.10)
то говорят, что V есть потенциальная функция1) или потенциальная энергия
системы. В более общем случае,
если существует функция V{qu ¦ . ., qN> q> " 4n)> такая, что
