Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Синг Дж.Л. -> "Классическая динамика" -> 26

Классическая динамика - Синг Дж.Л.

Синг Дж.Л. Классическая динамика — М.: Физматгиз, 1963. — 448 c.
Скачать (прямая ссылка): klassicheskayadinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 124 >> Следующая

положительно определенной квадратичной форме2)
1 N
т = -^2 ap°'qpqa' (27-3)
Р I 0=1
где коэффициенты ара - функции qj, . . ., qN.
!) Однако даже для системы со связями, не зависящими от времени, может
быть удобно использовать уравнения в форме (27.1). Например, чтобы
изучить движение твердого тела (скажем, ракеты) относительно Земли
(движение последней известно), можно положить, что координаты qi, q2,
..., ?в описывают положение тела относительно осей, неподвижных на Земле.
Тогда уравнения, которые выражают координаты частиц тела в неподвижной
системе координат, будут иметь форму (27.1), так как время t входит в них
из-за движения Земли. С точки зрения аналитической иногда удобно
употреблять слово-"склерономный", когда t не входит в уравнения (27.1) и
"реономный", когда оно входит в них, без того, чтобы рассматривать
физическую систему по существу.
2) Т > 0, если у,, . . . , qN не обращаются в пуль одновременно.
8 28)
НЕГОЛОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ
85
§ 28. Неголономные системы. Рассмотрим твердую пластинку, которая может
свободно скользить по неподвижной плоскости. Это - склерономная
голономная система с тремя степенями свободы. Предположим теперь, что на
пластинке имеется маленькое острое лезвие, которое может двигаться только
вдоль направления своей длины. Если (х, у) - декартовы координаты какой-
либо точки лезвия и 'й - угол его наклона к оси х, то (х, у, й) образуют
систему обобщенных координат для пластинки, но они подчинены
неинтегрируемому соотношению
^ = tgO. (28.1)
ах
Число обобщенных координат не может быть сделано меньшим трех, но эти три
координаты не могут изменяться независимо друг от друга.
Мы назовем систему неголономной, если невозможно описать конфигурацию с
помощью обобщенных координат qp (q = 1, 2, . . ., N) и времени t,
которые могли бы
свободно и независимо изменяться. В таких случаях
имеются определенные неинтегрируемыег) уравнения связей вида
N
2 Acpdqp + Acdt = 0 (с = 1, 2, ... , М), (28.2)
p=i
где Аср и Ас - функции переменных (q, t). В этом случае говорят, что
система имеет N - М степеней свободы.
Для неголономных систем остаются справедливыми формулы (27.2) и (27.3),
определяющие кинетическую энергию.
Неголономность обычно появляется в системах с контактами качения.
Условием качения является равенство мгновенных скоростей двух частиц в
точке контакта;
!) Peres [20], стр. 218 называет систему полуголономной, если уравнения
связей интегрируемы, причем постоянные интегрирования зависят от
начальных условий. Математически полу-голономная система мало отличается
от голономной системы, так как с помощью проинтегрированных уравнений
связей можно уменьшить число обобщенных координат.
86
ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ
[ГЛ. IV
частицы принадлежат двум касающимсях) телам. Следующие примеры
иллюстрируют неголономные связи, вызванные качением.
а) Шар, катящийся по горизонтальной плоскости. Пусть (/, J, К) -
неподвижный ортонормальный триэдр с началом О в заданной плоскости и
пусть вектор К направлен по вертикали (рис. 9). Возьмем в качестве
обобщенных координат {х, у, й, <р, ф), где {х, у) - координаты точки
касания в системе координат Оху, причем оси х, у совпадают с / и J, а (й,
ф, ф) - углы Эйлера (см. § 11), которые описывают положение ор-
тонормального триэдра (i, j, к), закрепленного в шаре, относительно
триэдра (I, J, К).
Радиус-вектор точки
касания относительно центра шара, точки С, равен ЪК, где Ъ - радиус шара.
Поэтому согласно уравнению
(19.2) мгновенная скорость этой частицы шара, когда она касается
плоскости, равна
xI+yJ + (*X(-bK), (28.3)
где со - угловая скорость шара. Разлагая угловую скорость на составляющие
по осям (I, J, К), имеем выражение
со = QJ + Q2J + Q3K, (28.4)
где коэффициенты выражены через углы Эйлера и их производные по времени,
как в формулах (19.5). Подста-
1) Это не означает, что при обсуждении неголономных систем
всегда желательно использовать обобщенные координаты; R outh
([22], II, стр. 105-205) с большой элегантностью применяет прямые методы.
Широкое исследование неголономных систем с проблемами, разработанными в
деталях и с рассмотрением нелинейных связей см. Hamel [11], стр.-464-507.
См. также W i n k е 1-m a n n and Grammel [29], стр. 434-440. В настоящей
книге динамику неголономных систем см. в § 46, 48, 85.
Рис. 9. Шар, катящийся по плос-
8 28]
НЕГОЛОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ
87
вляя значение ю из (28.4) в выражение скорости (28.3) и приравнивая нулю
результат (условие качения), получим следующие два неинтегрируемых
уравнения связей:
х - Ъ (й cos ф -f- гр sin Ф sin ф) = О,
\
• • • j
у - Ъ (-&sin ф - ф sin -& cos ф) = 0. J
(28.5)
Шар имеет 5-2 = 3 степени свободы.
Р) Круглый диск, катящийся по горизонтальной плоскости1). Пусть (I, J, К)
- неподвижный ортонормальный триэдр с началом О в заданной плоскости и
пусть вектор К направлен по вертикали (рис. 10). Примем (I, J, К) за оси
координат, тогда радиус-вектор точки С - центра диска равен
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 124 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed