Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
hi = Ло)1, hi - Biо2, h3 = Ссо3. (24.14)
Для того чтобы эти простые выражения имели место в
течение всего движения, необходимо, вообще говоря, закрепить триэдр в
теле. Однако в случае симметрии (А = В) достаточно, чтобы один из
векторов триэдра
78 Распределения масс и сис'гемЬг сил [ГЛ. m
совпадал с осью симметрии. Тогда триэдр не закреплен ни в пространстве,
ни в теле. Заметим, что в уравнениях
(24.14) компоненты угловой скорости - это компоненты угловой скорости
тела, а не триэдра.
§ 25. Кинетическая энергия. Кинетическая энергия
частицы равна T = -^-mv'i, где т - масса частицы,
a v - ее абсолютная скорость; для системы частиц
кинетическая энергия равна
Т = ^ 4 m^ = 4 2 mivi'vi- (25-1)
i i
Пусть v - абсолютная скорость центра масс системы, vt - абсолютная
скорость частицы системы, и v[ - ее скорость относительно центра масс.
Тогда vt = v + v[, и выражение (25.1) превращается в следующее:
Т = mv2 + ^4 m,'vi2' (25.2)
г
так как 2 = 0; здесь т - полная масса системы.
г
Это теорема Кёнига: кинетическая энергия какой-либо системы представляет
собой сумму двух слагаемых: (I) абсолютной кинетической энергии некоторой
фиктивной частицы массы т, движущейся вместе с центром масс этой системы,
и (II) кинетической энергии движения относительно центра масс.
Для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки с угловой
скоростью <г>, кинетическая энергия равна
Т = 4 2 mi х г*)2 =
i
= - (^4С(о3-2F(o2(o3-2G(o3(Oi-2^^соiсо2)" (25.3)
Li
где А, В, С, F, G, Н - моменты и произведения инерции. Если оси триэдра
совпадают с главными осями инерции,
§ 25] КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ 79
то это выражение сводится к следующему:
Т = (Ao>i -Т Sa>2 Со2). (25.4)
Если положения главных осей определяются углами Эйлера (§ 11), то
согласно формулам (19.4) кинетическая энергия равна
71 = - Л (й sin ф - ф sin ¦& cos ф)2 +
Lu
J
+ - В (й cos ф + ф sin ¦& sin ф)2 +
Lu
+ С (ф + ф cos й)2. (25.5)
При вращении вокруг неподвижной оси (независимо от того, главная это ось
инерции или нет) имеем выражение
Г=-|/со2, (25.6)
где / - момент инерции системы относительно этой оси.
Выражая кинетическую энергию через члены симметричной матрицы инерции Irs
(21.7), получаем для кинетической энергии следующее выражение:
Т = Т (со) = | /"сortos, (25.7)
причем суммирование производится от 1 до 3 по повторяющимся индексам, и
согласно выражениям (24.13) имеем следующие равенства:
hr = Irsos, Т = hTсог. (25.8)
Применяя обратную матрицу Jrs, удовлетворяющую условию IrsJst = &st->
имеем соотношение
to, = Jrshs, T=T{h) = ^ Jsrhrhs. (25.9)
Поэтому
дТ ((r)) _ ь дТ' W
80 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАСС И СИСТЕМЫ СИЛ [ГЛ. III
В случае, когда оси триэдра совпадают с главными осями инерции системы,
кинетическая энергия выражается следующими формулами:
Т ^ IЛ 2 А- К 2 А-Г \2 1 / I ^2 , \
1 =-(4(й,+Во)2 + С(йз) = т(х + Х + ^] =
1
= ~2 (Л-i<*>i -f- /г.2<й2 -f- h3a>3). (25.11)
§ 26. Системы сил. Рассмотрим силы Fi(i = 1, 2, . . . . . ., Р),
действующие на Р частиц с радиусами-векторами гi относительно полюса О.
Будем рассматривать силы Ft как состоящие из двух сил: внешней силы F[ и
внутренней FI, причем последняя представляет собой результирующую
реакций, действующих на частицу i со стороны остальных частиц системы.
Примем как гипотезу или аксиому третий закон Ньютона1). Он утверждает,
что сила, с которой частица i действует на частицу /, равна и
противоположна силе, с которой частица / действует на частицу г, и что
обе силы направлены по прямой, соединяющей эти частицы. Этот закон обычно
называется законом действия и противодействия. Он может быть записан
следующим образом:
F'i= 2 Ai}(rj - rt) (г = 1, 2, . .., Р), (26.1)
3=1
где Ац - скалярные множители, удовлетворяющие условию А и = А л-
Для любой системы сил Ft, действующих на rt, главный вектор (или полная
сила) F и главный момент (или момент вращения) G для центра приведения О
равны
!) "Каждому действию всегда имеется равное, противоположно направленное
противодействие, или - взаимные действия двух тел друг на друга всегда
равны и направлены в противоположные стороны". И. Ньютон, Математические
начала натуральной философии. Собр. трудов акад. А. Н. Крылова, т. 7,
изд. АН СССР, М.-Л., 1936, стр. 41. Ср. § 5 формулировку более общего
закона, согласующуюся с аксиомой однородности и изотропности
пространства.
3 2CJ
СИСТЕМЫ СИЛ
81
соответственно
р р
F = 2 Ft, G='21rixFi. (26.2)
i=i i=J
Говорят, что данная система сил эквиполентна4) одной силе F, приложенной
в точке О, и паре сил G.
Заметим, что F - связанный вектор, a G - скользящий вектор. Если изменить
полюс О, то G изменится, а вектор F останется неизменным. Подходящим
выбором точки О можно свести систему сил к G = pF, где р - скалярный
множитель.
Векторная пара (F, G) называется мотором 2) или торсором3). Она не
изменится, если перенести векторы F, вдоль их линий действия. Отсюда
легко видеть, что внутренние силы F'( не вносят в нее никакого вклада.
