Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, число внешних линий в точности равно числу линий в
вершинах минус удвоенное число внутренних линий:
Е = nVn - 21.
В приближении 0(h°) мы имеем Е = 2k + 2, п = 4, V^ = k, откуда / = VА - 1
(только в порядке 0{Ъ°)), так что в фейнмановской диаграмме не может быть
никаких замкнутых петель и, следовательно, эти диаграммы древесные.
Правило изображения произвольной (древесной) диаграммы заключается в том,
чтобы нарисовать все топологически неэквивалентные диаграммы с
установленной нумерацией внешних линий. Например, в G(6), когда одни и те
же линии выходят из вершины, такая диаграмма учитывается только один раз,
поскольку перестановка линий будет давать топологически эквивалентные
диаграммы
. С помощью этих правил нетрудно запи-
сать выражение для 0(8 > ,, сначала мы изображаем все возможные
неэквивалентные древесные упорядочения с пронумерованными внешними
линиями, а затем, пользуясь правилами соответствия, получаем
аналитическое выражение. Подобное диаграммное представление оказалось
очень удобным при вычислении функций Грина методом теории возмущений.
Интересно выразить полученные результаты через классическое поле <ркл(л:)
и посмотреть на вид получающегося эффективного действия. Мы определяем
классическое поле в евклидовом пространстве как
6Zp 6SF
q> (*) -------- "-------- +0{П). (4.30)
KnV 8/(*) б/ (*)
Используя формулу (4Л 9), можно найти ф (ж) как функционал от J
последовательно в каждом порядке по Л. Затем мы обращаем это уравнение по
теории возмущений и находим J (5с) как функционал от <ркл.
Фейнмановский интеграл по траекториям в теории поля
101
В результате
j(x) = (d*- т2)фкл(х) - А- фк3"(х). (4.31)
Примечательно, что в этом уравнении нет членов более высокого порядка по
А. Сравнивая с выражением (4.7), заключаем, что
Фкл(*) = ФоЮ + °(п)• <4-32)
Интегрирование уравнения (3.9) немедленно приводит к следующему виду
эффективного действия в данном порядке:
геК"1 - - КЯI - ? *""]. <4-33)
Таким образом, Г? есть классическое действие. Следовательно, можно
вывести выражения для собственных вершинных частей. В данном приближении
Г (2), очевидно, равняется обратному пропагатору, взятому со знаком
минус, а Г (п)с п > 4 обращаются в нуль. Диаграммы более высокого порядка
не возникают. Это объясняется тем, что Г порождают только такие
фейнмановские графики, которые не могут стать несвязными при разрезании
одной из их внутренних линий. Подобные диаграммы называются одночастично-
неприводимыми. Мы видели, что все древесные диаграммы одночастично-
приводимы, кроме диаграммы низшего порядка.
Задачи
A. Покажите, что вычисление интеграла по траекториям методом перевала
соответствует асимптотическому разложению по tl.
Б. Решите уравнение
(д2-т2-- Ф2)ф = -/
3!
последовательно в каждом порядке по А вблизи А = 0. Положив 9 = ф(0) +
Аср(1) + А2ф(2)+ . . . , выведите явные выражения для ф(2) и
Ф<3).
B. Для теории Аф4 найдите эффективное классическое действие в порядке А3
и выведите как в х-, так и в р-пространстве выражения для классических
евклидовых функций Грина в порядке А3.
102
Глава 3
§ 5. Первые квантовые поправки. Выадспение ретерминантов с помощью ?-
функции
Поправка порядка 0(h) к эффективному действию находится путем вычисления
детерминанта в выражении (4.11). Этот детерминант следует понимать как
произведение собственных значений оператора. Один из возможных способов
вычисления - ограничить пространство, например, ящиком, что приведет к
дискретным собственным значениям. Вычисляется произведение этих значений,
а затем размер ящика устремляют к бесконечности. Ниже для вычисления
детерминанта операторов мы будем пользоваться мощным формальным методом.
Рассмотрим оператор А с положительными и действительными дискретными
собственными значениями а,, ... . , ап; обозначим через fn(x) собственные
функции этого оператора:
называемое ?-функцией, связанной с опрератором А. (В случае когда А -
гамильтониан одномерного гармонического осциллятора, она совпадает с
римановской ? -функцией, если не считать энергии основного состояния.)
Затем сумма распространяется на все собственные значения и А становится
действительной переменной. Заметим, что
Преимущество такого представления для det Л заключается в том, что для
многих имеющих физический интерес операторов функция ^несингулярна при
s=0. Действительно, введем "тепловую функцию"
(5.1)
п а
(5.2)
dlA(s)
<= - 2 Inапе
-s In а
= - In (П а"),
(5.3)
ds s = о
П
п
откуда det Л == Па^ = е
(5.4)
П
G(x, у, т) = Ie~anTWf*(y)>
П
(5.5)
Фейнмановский интеграл по траекториям в теории поля
103
которая, как можно убедиться прямой подстановкой, удовлетворяет
дифференциальному уравнению (уравнению теплопроводности)
Если теперь воспользоваться ортогональностью собственных функций и хорошо
известным представлением Г -функции, то можно без труда выразить ^-
.функцию через введенную "тепловую функцию":
Это и есть нужное нам аналитическое представление функции Заметим, что
