Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
dx ' 5/
(3.21)
d6x (A) -i A< F(-" "' A< V(-i ) >
Ho [F(-j -), / ] ^ -i V'(- i ~ ) 5<% - y), (3.22)
6/, 5/y
где V' - производная функции V по ее аргументу. Интегрируя по у,
92
Глава 3
находим
dt)JX) к
=_F-(_j-A-). (3.23)
dX б Jx
Это уравнение интегрируется теперь по X, так что в результате 0*=ex(A =
1) = /(*)-F'H-^-)- (3-24)
Следовательно,
( ? +"*)- = i (7 (*)-*"(-"' ±-))W[J], (3.25)
х 5J 5/х
или ( ? + т2)ф (х) = / (х) - -[- F'(-i - )^[/].
(3.26)
х КЛ
Очевидно, что последний член похож на силу. Например, возьмем V = -
ф4, где X - безразмерная величина. Тогда
1 и'! ¦ б , , д , . ,з 1 -б- j ] -
- -3.>Kn^L) (3.28)
б/ 2 кл 67
j х >
и окончательно
54nW iX 5(Ркл(*)
А , X ix и'*'кл
(D,.m)tK"W-/(")--"Kn(")+? l} 2fx) *-
(3.29)
Два первых члена в правой части соответствуют классическому уравнению
движения, но к ним добавляются два последних члена, которые представляют
собой поправки, даваемые квантовой теорией (см. задачу).
В случае V ф 0 явный вид эффективного действия, конечно, неизвестен. Его
можно представить в виде функционального разложения по
Фейнмановский интеграл по траекториям в теории поля
93
<РКЛ в виде
Г[фкп] = fd4x [-;ре(фкл) + -1- Г(фкл)<9цфкл<^Фкл + Производные высших
порядков].
(З.за)
причем, включив производные функции <ркл произвольно высоких порядков, мы
учли теперь нелокальные эффекты. Произвольные функции ^(Фкп), ^(фкп) и
т.д. подлежат определению. Функция Vе - это, очевидно, эффективный
потенциал. Выражая / через <ркп по формуле
(3.29) и интегрируя выражение (3.9), находим
г%п>- 6т' (3'31)
^(фкл) = ^ + Поправки. (3.32)
Можно также действовать иначе - нелокальным образом разложить эффективное
действие по <ркл:
Г "О • 2 < Г'"1*1 • • • "К.ОТ>1.к • (3-33)
п .'V!
Коэффициенты Г ^(х^ . . . , xN) называются собственными вершинными
частями. В силу трансляционной инвариантности они зависят от разностей х.
_ ( так что фурье-образы вершинных частей опреде-
ляются формулой
r(N)(Pv ,..,Pn)(2tt)4S(4)(P1+. . , ;+ PN) =
:.Л"Г'1РЛ + ---/Р~Ч
(3.34)
где Г определены только при условии, что сумма их аргументов равна нулю.
Задачи
А, Включив там, где это требуется, постоянную Й, покажите, что
неклассические члены в уравнении для фкл действительно исчезают при й -*
0.
94
Глава 3
Б. Допустим, что в действии для скалярного поля V = 1 /26т2<р 2.
Выведите уравнение, которому подчиняется <р .
кл
§ 4. Вычисление интеграла по траекториям методом перевала
Интегралы вида
I е fdx е~а(х), (4.1)
где а (х) - функция координаты х, можно приближенно вычислить, раз ложив
а (х) в ряд вблизи точки х в которой функция а (х) стационарна:
а (х) к а (*0) -(х - х0)2а (дс0) + . . . . (4.2)
-са(хп) -1/2(х - хп)2а "(хп)
Тогда / - е 1 °' fdx е °' 1 °' (4.3)
и интеграл легко вычисляется, если a"(xQ) > 0 и можно пренебречь высшими
производными (этот интеграл гауссов). Такое приближение допустимо в том
случае, если подинтегральное выражение максимально, когда величина а (х)
минимальна, и точки вдали от минимума не дают существенного вклада, как
это показано на рис. 2.
В данном параграфе мы применим подобный метод вычислений к производящему
функционалу в евклидовом пространстве.
Начнем с определения производящего функцион лла в евклидовом пространстве
-sF[ф, /]
WE[j] = NEfV 9 " ' , (4.4)
где Sf[<p, /] = fd*x[-}~ <3Mq>3M9 + -^V + г/(ф) -/ф].
а(х)
KJ
(Хорошо)
а(х)
(Плохо)
Р и с, 2.
Фейнмановский интеграл по траекториям в теории поля
95
Разложим затем действие в ряд вблизи полевой конфигурации <р0:
5 SE
S?[q>, /] = S?[q>0, J] + < -- (ф - <p0)> +
5ф * 1
1 5\
+ - <-------- (<p-90)i(q>-<p0)2>1,2 + • • •" <4-6)
2 6Ф15ф2
где функциональные производные вычислены в точке ф0. Примем, что действие
Sf стационарно в точке ф0, т.е. что ф^ подчиняется классическим
уравнениям движения с источником
5 р
I О = + т\ + Г/'(ф0) - J = °- <4'7)
После интегрирования по частям находим, что
S?["o. Л-f (4.8)
тогда как 5 2S,
6ф1бф2
= +р"(ф)]1б(х1 - Х2) (4.9)
является оператором. В соответствии с методом перевала производящий
функционал принимает вид 25
WE[J]~NEe~SE[9°'j]f$ ф Г2<Т1^/2>1'2, (4Л0)
Гауссов интеграл может быть взят (приложение А), что приводит к
формальному результату
WE[j]~N'Ee-SE[(f0'}] idet([-^+m2+P"(9o)]612)|-% . (4.11) .
Очевидно, что не очень-то понятно, как Пользоваться таким выражением. С
учетом тождества
detM = eSp 1пМ (4.12)
96
Глава 3
его можно переписать в несколько более осмысленном виде
",iл - '1 - i-Sp 1','1 +"2 *F"(,,")ls'21 ,<4.-в)
так что становится ясным, что мы вычисляем поправки к Z[j], Физический
смысл такого приближения можно понять, если внимательно восстановить все
множители h. После этого можно убедиться, что приближение соответствует
асимптотическому ряду по h (см. задачу). Первый член S?[<p0, /] Дает
классический вклад в функцию Грина (вспомните гипотезу Дирака!).
Следующий член порядка О(Л) представляет первую квантовую поправку к
функции Грина. (Детерминант оператора следует понимать как произведение
