Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рамон П. -> "Теория поля. Современный вводный курс" -> 29

Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.

Рамон П. Теория поля. Современный вводный курс — М.: Мир, 1984. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyapolyasovremenniy1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 98 >> Следующая

образцов. Мы видели, что структура оператора вынуждает нас
интерпретировать как 4-импульс состояния частицы. Это совместимо с
трансляционной инвариантностью и приводит к сохранению р. Действительно,
поскольку G зависит только от разностей координат х, простой фурье-образ
fd\ . . . d\e + • ¦ • + Pn*n) G(N)(*x Xn)
обязательно содержит 6-функцию от (рх +. . . + pN). Поэтому мы полагаем
G(N)(pv . , ., f>JV)(2rr)45^(P1 + ...:+pN) =
- fd4x1. •. ¦. d*xNe
-Цр1х1 +
Pnxn)
G^)(xv
N1
где функция &^)(pu ...,pN) определена лишь при условии Р j + . . . + PN =
0.
Например, G(02)(p, -р)= --------------------
р1 - mz + it
(2.18)
(2.19)
88
Глава 3
представляет собой амплитуду распространения частицы с импульсом р и
массой т 2. Это же можно изобразить с помощью диаграммы
G(02)H= -*------------------------------------------------- (2.20)
Но в общем случае мы будем представлять функцию Грина
• . ¦ , PN) кружком с входящими в него N линиями с символами Рг, р2, . .
. pN при условии рj + . :• . + PN = 0, выражающем сохранение импульса:
G(JV)(pj, . . . PN) = . (2.21)
Такая диаграмма будет интерпретироваться, скажем, как амплитуда рассеяния
состояний с импульсами ру, . > . , в состояния с импульсами р.+ х> . . .
pN> если при этом считать лийии j + I, ... ,N выходящими. Снова заметим,
что именно видом функции G(n2) определяется характер внешних состояний.
На тех ограничениях, которые накладываются на ё унитарностью, мы
остановимся позже.
Задачи
A. Исходя из евклидова выражения для выведите соответствующее
выражение для фейнмановского пропагатора и покажите, что после
аналитического продолжения в пространство Минковского он сводится к
обычному.
Б. Покажите, что AF(x) - пропагатор сигналов с положительной энергией
вперед по времени и с отрицательной - назад по времени.
B. Найдите действительную и мнимую части пропагатора Ар(х)-, выясните их
физический смысл. Можете ли вы выразить Ар через ImA,?
§ 3. Эффективное действие
С помощью производящего функционала можно сконструировать локальные
величины, допускающие привычную интерпретацию. Например,
Фейнмановский интеграл по траекториям в теории поля
89
так что
го) 51n"b 5Z0
О*)*-*'-ГГ= ТТ <3-2>
К 5 /(*) Ь](х)
удовлетворяет [для доказательства нужно воспользоваться формулой
(2.16)] классическому уравнению движения
(а+"2)Ф$ (*) = /(*). (3.3)
В самом деле, на основании уравнения (3.3) можно заменить J (х)
выражением, содержащим tp^ (х). Формально это сводится к осуществлению
функционального преобразования Лежандра; вводя
Го[ф(к0^ = 2о[/]-</Ф(кл>> (З-4)
мы с учетом формулы (3.2) находим, что Г0 не зависит от /. В этом
(0)
кл'
случае легко найти явное выражение для Г выразив / через q> Пользуясь
формулой (2.16), получаем (интегрируя по частям по ходу Дела)
Г0[ф("]=- Т<[(П + та2)Ф^} ]tAF12[( С +ОТ2)ФКЛ5!]2> -
- < ф'°л}( ? + m2h(^> " - j<9(K°")(Q^ "2)ф(к0л>- (3.5) Интегрирование по
частям приводит к окончательному выражению
- "У"П <з-б)
представляющему собой то свободное действие, с которого мы начинали.
Аналогичную процедуру можно осуществить и в общем случае, когда V yt 0.
Образуем
" , . SinЩ SZ[J] ,Ч7*
"П * = -t ------------ = ' \6ш'>
кл 1 57 57
и попробуем вычислить эффективное действие
Г[фкл] = z[73 - <7ФКЛ>" (3.8)
90
Глава 3
где теперь J (х) =
5Пфкп]
бфкл(*)
(3.9)
в чем нетрудно 'убедиться, продифференцировав (3.8) по <ркл. (Конечно,
Г[фкл] зависит только от фкп, a Z [J ] - только от /.) Между прочим, мы
видим, что, поскольку Г - эффективное действие, величина (3.9) входит в
правую часть уравнения движения, возникающего из условия экстремальности
Г. В случае V = 0 это явствует из выражения (3.3).
Чтобы вывести уравнение движения для Фкл(х), нам следует записать W [/ ]
в какой-л^бо приемлемой форме. Напишем
а так как / и ф - независимые переменные, то же самое будет верно и для
любой функции от ф. В частности,
Это позволяет вынести из-под знака интеграла множитель, зависящий от V:
Ш/Ь N/Фф-в
= V / D ф е
JL <Эф А----------1 (те2 - г е)ф 2 - F(<p) + 7 (ф) >
* < 2 ц 2
, (ЗЛО)
-t < У(ф i < - <Эцфл?Цф - ~ W - й)ф2 + /Ф>
2 ^
е
(3.11)
А теперь - главный трюк: заметим, что
(3.12)
1 6 .
-! < V( ) >
e-i< VW>ei<J9> = е t5Jei<J9>.
(3.13)
W[j) = e
N f: Фф e
i< - V
1 3 ф(9цф - - (m2 - it)<f2 + J q"
2 2
(3.14)
= e
(3.15)
Фейнмановский интеграл по траекториям в теории поля
91
_,<F(JL-)> - -с^дпг/ >
или е iz^J 1 [/] = Ne * * 2 .(3.16)
Это выражение будет отправным при вычислении / ] методом теории
возмущений. В данный момент выведем из него уравнение для <ркл.
Из выражения (3.16) имеем
Б!У -г< г(~г $7 ^
X
5 б
-"'< V(~i - )> " < F( - i - )>
87 <w,>,. 67 ww' (3'm
Отсюда следует, что
(? +m2)-- = iGxW[J], (3.18)
6/x
6 5
_i< vi-i-)y i<V(-i-)>
^ 8 J 5/
где (c)x = e Ixe • (3.19)
Величину (c)x можно вычислить, применив еще один трюк. Положим
8 Б
-"'X<F(-i -- )> iA<7(-i---------)>
(c)Ж(А) = е S/ ]хе е/ , (3.20)
где Л - некий параметр. Ясно, что
S
[_; <v(-i -' fi" S/
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 98 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed