Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
тройка чисел (1тп) принимает дополнительные к ним значения, т.е. (1тп) =
= (456), если (ijk) = (123) и т.д. В данном порядке-по Л вклад в
остальные функции Грина отсутствует. Заметим, что вклады порядка Л° в
G,2), порядка Л b G"2>, поряцкаЛв Gl4> и порядка Л2 в уже были получены
ранее в классическом приближении, рассматривавшемся в предыдущей главе.
Прямым вычислением, пользуясь формулой (4.36) гл. 3, можно найти функции
Грина в р-пространстве. Имеем
1 А 1 dAg 1
116
Глава 4
1 - Г Al Az А3
6 (р2 + т2)2 (2тт)4 (2тт)4 "W
v 6(Р -?1 -?2 -?3)(2тг)4 ^ ^
(9? + т2)(?2 + wi2)(?3 + m2) 4 (p2 + A2 ^ (2nV*
1 f A, Aj 6<p - /, -12)(2tt)a
X ,2 , 2 J
9 + И4 (2tt)4 (2tt)4
+ m2)(? 2 + m)
+ л2 i f A i i rf4/
~T~~ (p2 + m2)2 (2tr)4 92 + m2 P2 + m2 J
(2tt)4 X
x -J +0(Л3), (I-24)
I + nr
~ 4 l i A i
Gt4' (p" P2* Рз> P4) =П J~2 iTl"Afir-A /o^r ДТ 2
1 1 = 1 (pf + m) l (4ТГ) f 1 r
4 1 y2 d Я^ c?4'
xi * + f_ 2 x
i-1 pf + m 2 (2tt)4 (2tt)4
I
4 /Т2-------2wT5-------------2\ 2 5(9l+92-Pi -p
)(2tt)4+0(Л3)!.1.25)
W, + m M2 + m I tij) '
В последнем выражении сумма берется только по (г/) = (12), (13) и (14).
Наконец, С161 дается выражением (4.29) гл. 3. Полученные выражения очень
громоздки, но существуют так называемые фейнмановские правила,
позволяющие довольно просто записывать их. Эти правила таковы.
1. Каждому множителю 1 /(р2 + т2) сопоставляется линия с текущим по
ней импульсом р:
, . _1________
^ р2 + ire2
Вычисление ФИТ методом теории возмущений: теория <р*
117
2. Каждому множителю - Л/4! сопоставляется четырехточечная вершина,
причем подразумевается, что полный импульс, втекающий в вершину, равен
нулю:
Pi D.
3. Чтобы получить вклад в (р f . , , , P/vНУЖН0" обозначив внешние хвосты
диаграммы, нарисовать все возможные топологически неэквивалентные
перестановки. Число способов, которым может быть нарисована данная
диаграмма, называется ее топологическим весом.
4. После того как обеспечено сохранение импульса в каждой вершине,
берется интеграл по импульсам внутренних петель fdAq/(2ТГ4).
В результате мы придем к желаемой функции Грина. Пожалуй, более
последовательно было бы сопоставлять каждой вершине множитель (-
Л/4!)6(2р)(2тт)4, где Zp представляет собой полный импульс, входящий в
данную вершину. Torfta интегрировать нужно по всем внутренним импульсам.
При таком способе возникает общий множитель (2ir)4S(Zp), где Zp - полный
импульс, входящий в функцию Грина. Например, на диаграммном языке
выражение (1.24) запишется в виде
По сформулированным правилам нетрудно написать аналитические вьг ражения,
соответствующие этим диаграммам.
1. Нам нужна одна вершина и три пропагатора. Можно четырьмя способами
прицепить первый хвост вершины к точке 1 и тремя - второй хвост к точке
2. Следовательно, вес равен (1 /4!)4 - .3 = 1 /2.Сама вершина вносит
вклад - Л. После этого правила приводят к выражению
+ "О" + "-Q" + -В- + Q Q .
(1.26)
О
/
г
118
Глава 4
Г&-1
2. У нас две вершины. Можно четырьмя способами прицепить первый хвост
первой вершины к точке 1, четырьмя способами прицепить первый хвост
второй вершины в точке 2, тремя способами связать второй хвост первой
вершины со второй вершиной и двумя способами связать третий хвост первой
вершины со второй. Следовательно, вес равен (1/4!) . (1/4!) 4 • .4 • .3 •
.2 = 1/6. Мы не учитывали, что у нас с самого начала две вершины. Дело в
том, что диаграммы остаются теш же самыми независимо от того, с какой
вершины начать. Вклад диаграммы пропорционален (- Л)2 = Л2. Если
обозначить импульсы внутренних линий через q^t q2 и q3, то, согласно
фейнмановским правилам, вклад диаграммы равен
JL I fXX- d% (2 I8 x
6 (р2 + от2)2 (1^ (2tr)4 \TnW~ { }
S(p, -?2-?3)5(p2+?, + ?2+9з)
(?| +m2)(<72 +m2)(<?3 +m2). '
A
1 г
3. В нашем распоряжении две вершины. Можно четырьмя способами прицепить
первый хвост к точке 1, тремя - второй хвост к точке 2, четырьмя - третий
хвост уже связанной вершины к другой и тремя же - четвертый хвост первой
вершины ко второй вершине. Следовательно, вес равен (1/4!) -(1/4) 4 . .3
• ,4 • .3 = 1/4. Вклад диаграммы пропорционален (-Х)2*
1 г
4. У нас две вершины. Можно четырьмя способами прицепить первую вершину к
точке 1 и четырьмя - вторую вершину к точке 2. В результате у каждой
вершины остается по три свободных хвоста для того, чтобы связаться друг с
другом. Каждая вершина может тремя способами замкнуться в петлю.
Следовательно, вес равен (1/4!) • (1/4!) 4 х х 4 , .3 . .3 = 1/4. Вклад
диаграммы пропорционален (- Л)2.
Вычисление ФИТ методом теории возмущений: теория <р4
119
Таким образом, фейнмановские правила сводят все к задаче, которую решает
ребенок, собирающий игрушку из элементов конструктора. Основные элементы
- пропагатор (линия) и вершина. Немного наловчившись, можно научиться
читать сопоставляемые им множители прямо в лагранжиане. По тем же
правилам в соответствии с аналитическим выражением (1.25) получим для
четырехточечной функции следующее диаграммное представление:
