Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
линий, являющихся либо внешними, либо внутренними. Каждая внутренняя
линия учитывается дважды, поскольку она начинается и заканчивается в
вершине, так что
Щш-Е + 11. (2.3)
Соотношения (2.2) и (2.3) позволяют выразить О через число внешних линий
и вершин:
D - d - i- (d - 2)Е + У у (--2-- -- d - /V). (2.4)
В четырех измерениях имеем
D = А - Е + (N -4)F^ (четыре измерения). (2.5)
Далее, в рассматриваемой нами сейчас теории N = 4. Следовательно,
О = 4 - ? (для теории Л<р4 в четырех измерениях) (2.6)
Полученный здесь важный результат заключается в том, что кажущаяся
степень расходимости зависит не от числа вершин, а только от числа
внешних хвостов! Таким образом, имеются лишь два возможных варианта с D >
0:
G(2> с кажущейся квадратичной расходимостью d = 2,
/к/
с кажущейся логарифмической расходимостью D = = 0.
Заметим, что указанные двух- и четырехточечные взаимодействия уже
присутствуют в лагранжиане и это обстоятельство окажется решающим для
перенормировки. Кроме того, D * 0 не обязательно означает логарифмическую
расходимость: фундаментальная вершина имеет D = 0.
Проведенный анализ не доказывает, что функции ?(61, Gt8>, . , , , для
которых величина 0 отрицательна,сходятся.Поэтому D и называется кажущейся
степенью расходимости. Рассмотрим "п-частично-приводамую" диаграмму с Е
внешними линиями; это такая диаграмма, которую можно разделить на части,
разрезав не менее п внутренних линий. В общем случае если D1 и 02 -
кажущиеся степени расходимости двух блоков, показанных ниже, то для всей
л-частично-приводимой диаграммы
О = 0, + 02 + 4(n -1) - 2п,
(2.7)
Вычисление ФИТ методом теории возмущений: теория у4
123
поскольку два блока связаны п пропагаторами и n -1 петлями:
N
Заметим, что по определению блоки I и II сами по меньшей мере п-частично-
приводимы.
В нашем случае, когда п = 1, мы можем иметь D, = D2 = о и при этом
получим D = -2, что соответствует на первый взгляд сходящейся диаграмме.
Примером этой ситуации может служить диаграмма
динозавр
которая очевидным образом расходится
из-за двух расходящихся интегрирований по петлям. Другой пример
одночастично приводимой диаграммы таков: . Q
В этом случае Dt = 2, D2 =- 2; кажется, что диаграмма сходится, но это не
так из-за "бородавки" на одном из хвостов. Последний пример показывает
также, что четырехточечная функция может расходиться сильнее, чем кажется
при наивном подсчете: доказательством служит
квадратично-расходящаяся четырехточечная функция Xi-
Отметим, что, рассматривая Г (п), мы избегаем таких
одночастичноприводимых диаграмм. При п = 2 мы имеем D = + D2 и вполне
может
быть так, что степень Dy (или D2) отрицательна и достаточно велика, чтобы
перекрыть D2 (или D,) и привести к отрицательной степени D.
Примером служит диаграмма "омар"
при п-З могут быть диаграммы типа
Аналогично
(в этой сложной диаграмме из каждой вершины выходит не более одной
внешней линии). В теории Лф4 могут существовать не более чем
трехчастично-приводимые диаграммы, так как каждую вершину" связанную
124
Глава 4
с одной внешней линией, можно отделить от диаграммы, разрезав оставшиеся
три хвоста.
Теперь ясно, как вылавливать диаграммы, которые, имея отрицательную
степень D, все же расходятся. Возьмите любую фейнмановс-кую диаграмму и
классифицируйте ее по степени приводимости; в нашем случае всякая
диаграмма 1-, 2- или 3-частично-приводима. Если она трехчастично-
приводима, то разложите ее на составные части и поишите
возможность разбиения вида ^NlS • Тогда в этом
тйце диаграмм имеется примитивно расходящаяся четырехточечная функция, а
второй блок должен быть сам по себе разложен таким же образом.
Аналогично, скрытые расходимости в двухчастично-приводимых
-or-" 1
диаграммах будут возникать в диаграммах вида Ш л/>4 ;
Щ N>2 с повторением такого разбиения во втором
блоке. Наконец, одночастично-приводимые диаграммы, которые можно
представить в виде
1 N>5 ; =В----N>3 ' булут иметь скры"
N N
тые расходимости. Такое же разложение можно провести для вторых блоков,
до тех пор пока не будут выявлены все подобные структуры.
Это исчерпывающее перечисление показывает, что истинно сходящиеся
диаграммы не содержат скрытых двух- и четырехточечных функций.
Можно и еще проще объяснить происхождение скрытых ультрафиолетовых
расходимостей в любой диаграмме. Рассмотрим любую петлю, помещающуюся
внутри диаграммы. Интегрирование по импульсу в петле в четырех измерениях
приведет к ультрафиолетовой расходимости, если эта петля образована не
более чем одним или двумя пропагатора-ми (внутренними линиями). Большее
число приведет к ультрафиолетовой сходимости. Петля, образованная одним
пропагатором, содержит только одну вершину О ; при этом остаются два
свободных хвоста,
Вычисление ФИТ методом теории возмущений: теория у4
125
которые в свою очередь могут быть присоединены к остальной части
ненным). В этом случае можно изолировать такую двухточечную функцию от
внутренней части диаграммы.Петля, ограниченная двумя пропа-гаторами,
