Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
Предоставляем читателю проверить правильность численных множителей в
формуле (1.25). ^
Заметим теперь, что в выражении для G* (р,, . . . , ру ) имеетоя
мультипликативный множитель П (р? + л?)-1, соответствующий пропага-
торам внешних хвостов.
Значительно удобнее иметь дело с функциями Грина, порождаемыми
эффективным действием. Связь этих функций Грина с G<n| очень проста: в то
время как функции G(n> связны, функции [7 <л| одночастично-непри-водимы.
В частности, функция Г (2)(р) равна обратному пропагатору, взятому со
знаком минус. Мы уже столкнулись с этим результатом в связи с древесными
диаграммами, но он верен во всех порядках теории возмущений. Таким
образом, Г 14 > содержит только диаграммы
причем внешним хвостам не соответствуют пропагаторы. Чтобы показать, что
функции Грина г <п) одночастично-неприводимы, можно исхо-
(1.27)
t =i
(1.28)
дить из определяющих уравнений
5Г[Ф]
S Z[/J
(1,29)
и дифференцировать их,
120
Глава 4
После всего сказанного вернемся к лагранжиану, в котором можно легко
идентифицировать все компоненты фейнмановских правил: четьрех-точечную
вершйну, возникающую из члена Хф4, и пропагатор, возникающий из
кинетического и массового членов. Отсюда следует, что после небольшой
.практики можно просто считывать фейнмановские правила с лагранжиана ?.
Основная трудность в том, чтобы получить при этом правильные знаки и
весовые множители перед диаграммами.
A. Нарисуйте вклады порядка X4 в двухточечную функцию G<2).
Е. Нарисуйте вклады порядка Л3 в С(4).
B. Напишите аналитические выражения для диаграмм задачи А с учетом весов.
¦ *Г. Выведите фейнмановские правила в случае V = (Л/4! )ср4 +¦
**Д. Покажите, что Z[/ ] порождает только связные фейнмановские
диаграммы.
**Е. Найдите вид эффективного действия S э?*}*[фкп ] в порядке Л2 и
покажите, что в порождаемых им функциях Грина не возникают одно-частично-
приводимые диаграммы.
§ 2. Расходимости фейнмановских диаграмм
Красота фейнмановских правил несколько блекнет, когда мы осознаем, что
большинство интегралов по петлям расходится ! Например, вклад порядка
О(Л) в G121 содержит интеграл
Очевидно, что он расходится при ?-"">, так как подынтегральному выражению
не хватает сил побороть меру интегрирования. Подобая расходимость
называется ультрафиолетовой. Она возникает при больших импульсах или, что
эквивалентно, на малых расстояниях [в ж-простран-стве расходимость
возникает от Д(0)] и, очевидно, связана с тем, что приходится вычислять
слишком много производных по / в одной точке. Другой пример - диаграмма
под названием "рыба":
Задачи
+ (ц/3!)ф3.
г d*q 1
J /п \Л О
(2 тг)4 q2 + го*
Вычисление ФИТ методом теории возмущений; теория ф
121
и 1 л2 . d*q__________________________1___________
(2тг)А 2 (2-п)4 (92 + m2)((g_p1_p2)2 + от?)
В этом случае при q -" " интеграл ведет себя как интеграл от d*q/qA, т.
е. как логарифм lng. Он тоже расходится! Попутно заметим, что когда т2 =
0 и (pt + р2)2 = 0, этот интеграл расходится и при малых q. Подобная
расходимость называется инфракрасной. Обычно такие расходимости возникают
только в безмассовом случае и при некоторых специальных значениях внешних
импульсов (в данном случае р, + = 0, посколь-
ку мы находимся в евклидовом пространстве). Положим на некоторое время и2
^ 0 и сосредоточим внимание на ультрафиолетовой расходимости.
То, что столь заботливо сконструированные функции Грина расходятся,
выглядит как'полное крушение нашей программы. Но не будем предаваться
отчаянию, а попробуем узнать несколько больше об этих расходимостях. Мы
вскоре обнаружим, что они возникают легко прослеживаемым образом и
исчезают при подходящем переопределении полей и констант связи! Таково
чудо перенормировки, которое, как мы увидим, возникает только в
определенных теориях.
Покажем, как путем топологических рассуждений и подсчета степеней узнать,
имеется ли расходимость. Рассмотрим фейнмановскую диаграмму с V
вершинами, Е внешними линиями и I внутренними линиями. Сначала будем
считать, что имеются только скалярные частицы.
Число независимых внутренних импульсов равно числу петель L в диаграмме.
Для 1 внутренних импульсов выполняется V -1 соотношений (единицу нужно
вычесть, чтобы учесть общий закон сохранения импульса), так что
L-1-V +1. (2.1)
Это соотношение позволяет наивно подсчитать степени импульса для
диаграммы. Такой подсчет даст кажущуюся степень расходимости диаграммы,
обозначаемую через D" . Чтобы вычислить D, заметим, что у нас имеются L
независимых интегрирований по петлям, причем в d измерениях каждое вносит
d степеней импульса, и 1 внутренних импульсов, каждый из которых
соответствует пропагатору, вносящему две обратные степени импульса.
Следовательно,
D = dL -21. (2.2)
1,В отечественной литературе величина D называется индексом диаграммы. -
Прим. пврвв.
122
Глава 4
Нам нужно еще одно соотношение между V, Е и /. Пусть У^ обозначает число
вершин с /V хвостами. В диаграмме с VN такими вершинами имеется NVn
