Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рамон П. -> "Теория поля. Современный вводный курс" -> 34

Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.

Рамон П. Теория поля. Современный вводный курс — М.: Мир, 1984. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyapolyasovremenniy1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 98 >> Следующая

Фейнмановский интеграл по траекториям в теории поля
107
A' = A + -A1i "М. (5.28)
1бтт2 М
[с учетом (5.25)]. Мы видим, что потенциал
F(9 ) = А1фк4 л+--*П [ln!^- - ~] + 0(А3) (5.29)
V4W 4| '•'кл 256тг 2 М 2 6
оказывается форм-инвариантным по отношению к такой репараметризации:
V(\',M') = V(\,M). (5.30)
Это свидетельствует о том, что меняется не физика, а только наш способ
интерпретации констант.
Задачи
А. Допустим, что классический потенциал имеет вид FKn= 1/6/ф3, где / -
константа с размерностью массы. Методом перевала найдите первую квантовую
поправку к этому потенциалу. Выясните физический смысл полученного
потенциала.
Б. Решите ту же задачу при Ркл = 1/6/ф3 + <р4. Найдите физический
смысл. 4
**В. Найдите решение уравнения теплопроводности (д2 -m2)G{x, у, т) =
= dG/дт, G(x, у, 0) = 5(х - у) в d измерениях. На основании полученного
результата вычислите эффективный потенциал в теории, определяемой
действием
f d6x[~duФ<?ЦФ + те2ф2 + -^-Ф3]
в шести измерениях. В частности, найдите то изменение масштаба А, которое
необходимо, чтобы обеспечить инвариантность результата по отношению к
масштабным преобразованиям. Интерпретируйте знак добавки к А и нарисуйте
график изменения А с изменением масштаба.
§ 6. Изменение масштаба детерминантов. Константа связи, зависящая от
масштаба
Метод вычисления детерминанта операторов с помощью ? -функции позволяет
особенно просто вывести масштабные свойства этих детерминантов. При
изменении масштаба мы имеем A-+A' = eadA, (6.1)
108
Глава 3
где d - (естественная) размерность величины А.. Из определения 5-функции
следует, что
= (6.2)
откуда det{eadA) = ead^A(0) det(4). (6.3)
Приведем пример применения этой формулы. При дилатации
= е"хц> 9кл ^Фк'л = е_аФкл (6-4>
классическое действие с т2 = О
S?UKn]=-/^[y Фкл^Фкл - ^кл1 (6-5)
не изменяется. Но интеграл по траекториям для этого действия не является
масштабно-инвариантным. Действительно, в приближении метода перевала мы
находим, что изменение эффективного действия с точностью 0{Н) равно
slw[""l-s?W[O-sf'["l0,]-""E[-5J + ?,Sn) (0)- (6'6)
Можно вычислить ?-функцию для оператора - <9 2 + (Л/2)ф2п> предполагая,
что G(x, у, т) имеет асимптотическое разложение (полагаем Р2=1)
_ _ (х,-~У)2/$Т <*>
Сг(х,у, т)=--------- g 6Т 2 ап(х, у)тп, (6.7)
16тгп = 0
где мы ввели искусственный множитель, обеспечивающий сходимость с е> 0.
Читатель, не довольный такой процедурой, может с самого начала
вообразить, что тп2 Ф 0. В силу граничного условия (5.8) имеем
aQ(x,. х) = 1. (6.8)
Далее, дифференциальное уравнение (5Д1), примененное к выражению
(6.7), приводит к рекуррентным соотношениям для коэффициентов ап(*> У):
(х-у)и-^-ао (*,У) = °, (6.9)
м
Фейнмановский интеграл по траекториям в теории поля
109
[(га + 1) + ( х - У) ]а" j(x, у) = (<?2 - -у<РкЛМ + 6 )ап(х> ?)*
Ц дХц 1
п = 0,1,... . (6.10)
Можно решить эти , уравнения:
*) = - у *кл (*) + ?; а2(*> *) ^ V 4>кп(*> " J *Чл<*) + .
+ ?Лф2п. (6.11)
В результате получаем для ?-функции, вычисленной при s = 0, выра-
жение
? (0) = _L [- fd4x + /й4хф2л(х) + /й4х^-Фкп(х) (6°12)
1 бтг2 2
с учетом определений (5.7), (6.7) и (6.11). Член с д2 в выражении для я
2(х, х) выпал при интегрировании. Полагая е равным нулю, приходим к
окончательному результату
Х'этф =5эфф _ы -Jl.----------------fd*x Ф4 (х). (6.13)
Е ? 8 • 1бтт2
Таким образом, единственным следствием дилатации (в данном порядке по Й)
является изменение константы связи Л:
* , ЛГ = А. -Па - *1_________, т.е. Л - Л' = X - , Па.
(6.14),(6.15)
4! 4! 4! 8- 16-тт2 16тт
Из этой очень важной формулы явствует, что константа связи, в
классической теории безразмерный параметр, приобретает в результате
квантовых эффектов зависимость от масштаба. В данном конкретном случае из
этой формулы следует, что при больших масштабах константа связи
уменьшается, и это означает, что теория без взаимодействия в определенном
смысле является хорошим приближением для асимптотических состояний. При
уменьшении масштаба константа связи начинает расти и, даже если мы начали
с некоторого малого значения Л при некотором масштабе, дальше А может
настолько вырасти, что это обесценит те результаты, которые получены
методом теории возмущений по Л. Отметим, что этот масштабный закон
полностью совпадает с тем, который получен в предыдущем папаграфе
(напомним, что
110
Глава 3
а = _luМ'/М). Этот результат точен в порядке 0(H). Принято вводить Р-
функцию
Р = JMl. = -2*1 Я + . . . , (6.16)
dlnM 32тг
которая в данном случае оказывается положительной.
Итак, мы разными путями убедились в том, что в квантовых теориях поля
следует определять константы связи в некотором масштабе, поскольку, даже
если в классическом пределе константы не зависят от масштаба, они
приобретают квантовые масштабные зависимости.
Задачи
**А. При т2 4 0 .классическое действие с потенциалом V = 1/2 т2<р2п +
(Л/4!)ф^л уже более не инвариантно относительно дилатаций. Найдите
изменение эффективного действия, возникающее в результате дилатации. В
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 98 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed