Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рамон П. -> "Теория поля. Современный вводный курс" -> 33

Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.

Рамон П. Теория поля. Современный вводный курс — М.: Мир, 1984. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyapolyasovremenniy1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 98 >> Следующая

в силу ортонормированности собственных функций. Таким образом, один из
возможных способов вычисления det Л состоит в следующем: 1) найти решение
уравнения (5.6), подчиненное начальному условию (5.8); 2) подставить
найденное решение в (5.7), вычислить ^(s) л, пользуясь формулой (5.4),
найти det Л.
Рассмотренную процедуру можно обобщить на случай нашей задачи. Теперь
оператор имеет вид [ - д2 + т2 + (А/2)<р^(х)], где Ф0(5) - решение
классических уравнений с mctohhhkqm /. Легко убедиться, что решение
уравнения
с граничным условием (5.8) имеет (только в четырех измерениях!) вид
(5.6)
1 °°
I (S ) = / d т тs fdx G(x" х, т ).
" Г /с \ п
Г (s) о
(5.7)
G(x, у, т = 0) = 5 (х - у)
(5.8)
" 2 SG0
~дх О0(*" ъ т) ~
д т
/Ь.9)
1 2 ------(Х-У)
е
(5.10)
Это еще не решает нашей задачи. В частности, получающаяся вычислением по
формуле (5.7) функция г(") не существует. Мы хотим найти функцию G(x, у,.
т), удовлетворяющую условию (5.8) и уравнению
104
Глава 3
Ясно , что при произвольной функции <р0(3с) это уравнение очень трудно
решить. Тем не менее посмотрим, что здесь можно сделать. Написав
эффективное действие в виде
если заменить ф0 на фкп, что не вносит никакой ошибки с точностью 0(h), и
воспользоваться формулами (5.4) и (4.11).
С другой стороны, можно положить
Следовательно, если мы хотим вычислить вклад порядка 0(h) в Р(ф )j то
достаточно рассмотреть постоянную полевую конфигурацию. Положим,
например,
и действие пропорционально бесконечному объему /d4x, так как евклидово
пространство R4 неограниченно. Но если допустить, что мы находимся на
поверхности S4 сферы в ряти измерениях, то мы получим конечный элемент
объема ^поверхность сферы). Подобный прием позволяет избежать указанной
инфракрасной расходимости. Позднее можно устремить радиус сферы к
бесконечности.
Из предыдущего следует, что вклад порядка 0(h) в потенциал дается
выражением
Уравнение (5.11) при постоянном v можно очень легко проинтегрировать.
Имеем
(5.12)
нетрудно заметить, что
(5.13)
Г?[4)кпЬ7^[1/(фкл(х)) + ^(фкп)^фкл(х^цфкл(х) +. . .]. (5.14)
*кл(*) =
где v - константа, не зависящая от х. Тогда
(5.15)
(5.16)
(0)
(5.17)
2
Фейнмановский интеграл по траекториям в теории поля
10J
где для того, чтобы показатель степени был безразмерным, величина
т поделена на произвольную величину у 2 с размерностью массы в
квадрате. Затем, пользуясь формулой (5.7), получаем
_(m2+ - v2 )т/у2
r(su.L> т5-'/Л-------------?-е 2 =(5.19)
f(s) о IGtt^2
4 m2 + - v2 .
st*- (5'2"'
изменив попутно масштаб величины т (строго говоря, интегрирование по т
возможно только при s - 2 > 0, но путем аналитического продолжения мы
определяем ? (s) всюду). Обратим внимание на появление объемного
множителя ./ d4x, который сокращается с соответствующим множителем в
формуле (5.17) Сравнение формул приводит к результату
"!4"г
*>)--_-!-<-1- -
Я2тт2 ds (s - 2)(s - 1) м4
(5.21)
2^2 rrC +- U
-I +b i ). (5.22;
64*' 2 2
Выяснив функциональный вид V, мы можем утверждать, что эффективный
потенциал в теории дается выражением
V^Kn]=jrn2<f2n(x) + ^C^ +
1 ~k 2 т + у Фкп
+1"-?-1+0('2)'
64тт 2 I У (5.23)
Полученный результат выглядит довольно странно, так как кажется зависящим
от введенного совершенно произвольно неизвестного масштаба у2. Означает
ли это, что полученный потенциал произволен? Заметим, что V зависит от
параметров то2 и Д. Они по сущест-
106
Глава 3
ву еще не были определены, если не считать того, что они входили как
начальные параметры в классический лагранжиан. Для простоты возьмем
сначала т2 = 0. Тогда легко убедиться, что автоматически
d2\
0 при ф = 0. (5.24)
??ф '
Определим квадрат массы как коэффициент перед ф2 в лагранжиане ?,
вычисленный при ф = 0; оказывается, что если его классическое значение
равно нулю, то это же верно и здесь с точностью О(й). А как обстоит дело
с А? Определим этот параметр как коэффициент, равный четвертой
производной V, вычисленной в какой-то постоянной точке Ф = М:
Л = при ф = М. (5.25)
Йф4
Отметим, что здесь нельзя, как в предыдущем случае, положить Ф = 0 из-за
расходимости, содержащейся в логарифме (инфракрасная расходимость). Это
типично для теорий, в которых классическое значение т2 = 0.
Из условия (5.25) вытекает, что
In (5.26)
2ц2 3 '
в чем можно убедиться, продифференцировав (5.23), положив т2 = 0 и
использовав (5.25). Следовательно, можно исключить комбинацию 2ц2Л,
заменив ее величиной М2, и записать результат в виде
Р(ф )= Аф4 + [In - Цг ] (5.27)
кл 4! кл 256-п-2 М2 6
в согласии с тем, что получили С. Коулмен и Ю. Вайнберг [ 1]. Это
небольшое упражнение показывает, что когда имеешь дело с квантовыми
поправками, нужно внимательно определять входные параметры лагранжиана.
Выражение (5.27) все еще представляется зависящим от одного произвольного
масштаба М2, но на самом деле это не так, поскольку, меняя при заданном
условии нормировки масштаб от М2 До М'2, мы должны одновременно заменись
Л на А', где
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 98 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed