Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
его собственных значений.) Начнем с вычисления классического вклада в И^[
/ ]. При этом следует помнить, что так как функция ф0 есть решение
уравнения (4.7), она является функционалом от ]. Поэтому процедура
вычислений очень проста: а) вычислим функциональную зависимость q>Q от /;
б) подставим найденное выражение в (4.8); в) сравнив получившееся
выражение с разложением (2.т5), извлечем функции Грина 0^(1, . . . , N).
К сожалению, при выполнении шага "а" мы сталкиваемся с серьезными
теоретическими трудностями. Уравнение, которому удовлетворяет <pQ,
представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение (в случае V' 4
8), и оно еще никем не решено в замкнутой форме. Лучшее, что можно
сделать, это попытаться решить его в рамках теории возмущений. Конкретно,
возьмем потенциал <р4 и будем раскладывать вблизи Л = 0.
Запишем разложение
Ф0 = ф(0) + Лф(1) + \2ф(2) + . . . , (4.14)
так что
S- = - -1/<*4х[/(ф(0) +Лф(1) +...) + А- (ф(0) +Ф(1) + . . . )4] = й 2 '2
= - 1 fd4x Jф(0> -i/d4*'[/f(1)+i9(0)4] + Ofr2) 2 2
(4.15)
(4.16)
Фейнмановский интеграл по траекториям в теории поля
97
Если теперь (в очевидных обозначениях) определить евклидову функцию Грина
(<3Ц?Ц -т2)аху =^5ху, (4Г7)
то тогда фW(x) = <Oxaja> а>
ФШ(*) = - ~<GxyGyaGybGyCJaJbJC> abcy ИТ°Д° <4Л8>
О
Таким образом,
S?[/]= -~^-<Jar,abJb>ab +
+ -^- <Gxa GxbGxcGxd^ aJbJcJd> а b с dx 4 -
- -j- < GxaGxbGxcGxyGydGyeGyfJ a J b J с J d J e Jf> a b с def xy + °&3)-
(4.19)
Соответственно этом) 'связные) евклидовы функции Грина определяются как
GbN)(*i, • • • > *N) = - Е . где [/] = NEe .
S/j -6JN
(4.20), (4.21)
В рассматриваемом классическом приближении связные функции Грина
оказывается равными
г (2) /- - . "- . r d р е
GE (х1г Х2) = 0(*г, Х2) = / - - , (4.22)
(2тг)4 Рz+ т2
Ge } (*i> *2" хз" *4) =~hfd4y G(xlt y)G (x2, у) G (х3,у) G(5c4, у),
(4.23)
GE (xi> x2f ^3r ^4' ^59 = f d4x d4yG(x, у) X
X P(x9 y, xv x2, X3, X4, X5, xj, (4.24)
где P(x,y, {x. }) = z G(i, Xi ) G(x, xA G(x, xk)G(y, xe) x (ijk) 1
* e'
x G(y, xm) G(y, xn)
98
Глава 3
и сумма берется по всем нижеследующим тройкам чисел (" j k) = (123),
(124), (125), (126), (134), (135), (136), (145), (146), (156), причем
предаю* латается, что (lmn) принимает дополнительные значения [например,
(lmn) = (456), если (ijk) = (123). Заметим, что индексы (ijk) пробегают
только половину возможных значений. Это связано с тем, что выражение для
Рсимметрично относительно замены х -* у.
Указанные функции являются единственными ненулувыми функциями Грина в
данном классическом приближении в порядке Л 2.
Как легко видеть, функции Грина в импульсном пространстве, определяемые
формулой
СГ(Р! РЛ/)(2тт)46(р'1 ...+?*) =
= +' ' ' +ipN*NGW (xt, . . > xN), (4.26)
таковы:
^(Py Р2 = -Рг) = "--I-------------------T+°W' <4-27)
P ^ + m
GE4ht>V P2, py p4) = ( Jj-.2 J2~T ~Z2 , 2 ) +
P'l+m2 P2+ P3+m P
+ m
+ 0(A), (4.28)
g?6>(Pl. ...,P6)= [ П 2 3 S .-2-2+0iX:
1 = 1 P; + m (i j k) (p. + p. + pk)2 + m
I
14.29)
где опять сумма берется по тем же тройкам чисел, что и в (4.25).
В приведенных выражениях функции с, должны вычисляться только при
условии, что сумма их аргументов равна нулю.
Вычисляя <р0 методом теории возмущений, мы видим, что <р(Л)
всегда зависит от / 1+ 2к. Следовательно, порядок Л* вносит вклад только
в функцию G2!* + В. Это артефакт данного приближения, в котором
пренебрегается вкладами порядка Ь . Следуя Фейнману, разработаем
графическое представление полученных функций Грина. Будем изображать С^У)
(р1г. . ., pN) кружком с N внешними линиями
Фейнмановский интеграл по траекториям в теории поля
99
рг - , каждая из которых отмечена символом р, причем
Pi Рн
все стрелки входят внутрь. Этот кружок можно представить в виде диаграмм,
если воспользоваться следующими правилами:
1
-*- означает пропагатор -г "
р1 + тг
означает вершину - Л.
X
При этом подразумевается, что сумма всех р, текущих через вершину,
сохраняется. Сама вершинаХ не имеет стрелок на линиях, и это указывает на
то, что пропагаторные множители для линий не включены в определение
вершины. Сравнение с формулами (4.27) - (4.29) приводит к диаграммам
-р- + О(Л)'
Рг\/Рз
- Д + 0(f)),
Pi Pi
Pi Pi
3\y* 3 4 у* у3 Ч у3
г^5 - Z^-^-5+Z^----------------+
16 1 6 j 6 1 6
*\ у3 Ч У2 5\ /2
+ Z А-4*4 + 3 ^ 4*5 + 3 ¦*} 4*-Ь +
1 5 1 6 1 6
6. 34. Z Z
+ 5
)-i*
5 1 "
г
^^3 +0(Л).
Таким образом, фейнмановские правила в данном порядке по И заключаются в
следующем: пользуясь элементами - иХкак основными строительными блоками,
изобразить все возможные сочетания линии так, чтобы не возникало
замкнутых контуров (называемых иначе пет-
100
Глава 3
лями). Подобные диаграммы называются древесными. Не составляет труда
убедиться, что в рассматриваемом приближении функции Грина представляются
древесными диаграммами.
Рассмотрим диаграмму с Е внешними линиями, / внутренними линиями и Vn
вершинами, каждая из которых содержит п линий (в нашем случае п = 4).
Каждая внутренняя линия соединяется с двумя линиями от вершин.
