Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
связываться друг с другом, а не существовать в виде асимптотических
состояний.
Таким образом, знание физических состояний теории поля во многом зависит
от решения. Но его-то мы и ищем! Нам нужно найти такую формулировку
теории, основанную на интегралах по траекториям, при которой не
требовалось бы знать ее физические состояния (это будет выведено). Прием,
который позволяет выбраться из этой западни, очень прост. Всякий
согласится, что, какими бы ни были состояния, должно существовать
состояние с наименьшей энергией, которое мы назовем вакуумным. Оно может
иметь очень сложную структуру (например, сверхпроводимость) и может быть
заселено всеми видами странных объектов, но тем не менее считается, что
оно существует. Предположим теперь, что нас интересует амплитуда перехода
системы из вакуумного состояния при t = -<* в вакуумное состояние при t =
+" в присутствии произвольной вынуждающей силы, Это означает, что в любой
момент времени мы сохраняем за собой право как угодно возбуждать систему
по своему желанию и наблюдать за ее откликом.
Тогда мы можем получить ответ на все вопросы, если только мы достаточно
умны, чтобы применять такие пробы, которые дают распознаваемые отклики.
Следовательно, план действий будет таким: а) решить задачу о построении
амплитуды < й | й > j для произвольного источника / (х); б)
интерпретировать результаты, т.е. опознать амплитуды рассеяния; в) исходя
из этих амплитуд, рассчитать физические следствия теории.
82
Глава 3
По традиции источник привязывается к локальному полю, так как это
приводит к вынуждающему члену общего вида, с помощью которого могут быть
построены все возможные источники. В случае, когда применима теория
возмущений, локальные поля естественным образом интерпретируются как
частицы.
Начнем с простейшей теории поля - самодействующего скалярного поля,
описываемого действием
S = $&Ах[-В ф А - - А2 - F(<P)J = fd4x ?(ф" 5цф)*
2 2 (1.1), (1.2)
Чтобы построить гамильтонову плотность К, определим канонический импульс
тг(х) = - = <Э0<р = ф (1.3)
и выполним затем преобразование Лежандра
Н(тг, ф, V<p) = тгф - ? = ¦^_('п'2 + А ' ^Ф + w^2) + 7(ф). (1.4),
(1.5)
Если т2 > 0 и V > 0, то функция Н положительно определена. Амплитуда
перехода вакуума в вакуум определяется как
<fi| Q>f = 1Р[/] = Л1/!Фф(r)1ге<<1Г*~И + /'*>, (1.6)
где N - постоянная (обычно плохо определенная), символ <. . . > означает
теперь интегрирование по пространственно-временным переменным, a J(x) -
произвольный источник. Интегрируя по тг методом, изложенным в предыдущей
главе, получим
ШЛ =^7$ф V<9^-tot2<p2" F(9) + 7ф>.(1.7)
В этом случае через $9 (или 3)тг) обозначено произведение всех dyk, где
фА - значение ф при х = xk.
Подынтегральное выражение в (1.7) осциллирует,и даже интегралы по
траекториям плохо определены. Существуют два способа изба*-виться от этой
трудности: а) ввести множитель ехр(-% е< ф^) с е > О, обеспечивающий
сходимость; б) определить W в евклидовом пространстве, положив *0 = ix0,
d4x = -i d4x, г?рф <?>У = -(?цф йцф, где
Фейнмановский интеграл по траекториям в теории поля
83
чертой отмечены переменные в евклидовом пространстве и д = д/дх^. Тогда
выражение (1.7) примет вид
л _<±5иФ1ф +- ""V + (1 8)
е < 2 ^ ^ 2 • ( *В>
Теперь уже показатель экспоненты под интегралом отрицательно определен
при положительных т2 и V.
В обоих случаях производящий функционал используется для построения
функций Грина, являющихся коэффициентами функционального разложения
W[J]= Z <JtJ2 . , , 2......N)>,......." (1.9)
N = 0 N'-
ИЛИ
G(")(1 2 N)- - - - ... -W[J]\J = Q> (1.10)
G ( 6/1 J2 6JN 1 0
где, как обычно, ]i = j(x{) и т.д., символ <•¦•>!,,.. ы означает
интегрирование по , ,d\N. Главная задача теперь в том, чтобы вычислить
функции .....xN) методом теории возмущений или иным спосо-
бом. В р-пространстве эти функции будут отождествлены с амплитудами
перехода. Это нетривиально, поскольку амплитуды перехода должны
удовлетворять требованиям унитарности и полноты. Для построения таких
функций G(^/)(x1 j*v) используется функционал WE[j] в евклидовом
пространстве; функции связаны с Gw) аналитическим продолжение ем
(виковским поворотом), и это заранее предполагает, что в процессе
поворота контура не пересекаются сингулярности. Такого условия достаточно
для определения структуры особенностей GW), но нетривиальной задачей
становится доказательство того, что подобная процедура совместима с
унитарностью. Мы надеемся, что все эти несколько смутные замечания станут
яснее после явных вычислений.
§ 2. Фейнмановский пропагатор
В данном параграфе мы вычислим W[j] для случая V = 0. Сделаем это в
пространстве Минковского с помощью е- процедуры. Положим
84
Глава 3
WQ[J]= Nf (r)9 eiKT W*9 ' T (m2 ~ 'Е)ф2 + /9>.
(2.1)
Легче всего проделать вычисления в пространстве фурье-образов (импульсном
пространстве) тем же методом, что и в случае вынужденного гармонического
осциллятора. Введем четырехмерное преобразование Фурье
