Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
частности, найдите как в классическом приближении, так и с учетом
квантовых поправок [с точностью 0(H) ] изменение величины т2.
**Б. Исходя из нового асимптотического разложения для функции G(x, у, т)
G(x, у, т) = е-~4-------^ 2 Ьп(х, у)тп,
1 бтг т " = 0
отвечающего оператору - д 2 + (Л/2)ф2(зс), выведите рекуррентное
соотношение для коэффициентов Ьп , а также выражения для коэффициентов
Ьп(х, х) при п = 0,1, 2, 3.
ЛИТЕРАТУРА
1. Coleman S., Weinberg Е., Phys. Rev., D7, 1888 (1973).
Глава 4
Вычисление фейнмановского интеграла по траекториям методом теории
возмущений: теория (р4
§ 1. Фейнмановские правила для теории А<р4
Перейдем к обычному вычислению по теории возмущений функций Грина в
евклидовом пространстве. Исходить будем из выражения
где N - произвольная (бесконечная) нормировочная постоянная. Связные
функции Грина определяются как
Мы будем вычислять их, рассматривая потенциал V как малое возмущение. Для
простоты ниже мы будем обходиться без индекса Е и без черты над х,
указывающих на евклидово пространство. Позднее же в тех случаях, когда
будет возможна путаница с пространством Минковского, эти символы будут
восстановлены. Пользуясь приемом, изложенным в гл. 3, § 3, находим
WE[J] = e-zE[j] = Nf$Ve
д срд ф + 4-т2ф2 + к(ф) - / (ф> ], 1 2 2
(U)
(1.3)
где
-j- < }(x)Af(x -y)J (у)>ху,
(1.4)
(2тт)4 р2 + т2
р е'Р(* -У'!
(1.5)
112
Глава 4
После небольших алгебраических преобразований получаем выражение
Z[/]-ln.V + Z°[/J-ln(l + е2°(е~<У{ТГ)> -1)e~Z°)> 0-6)
которое уже допускает разложение в ряд теории возмущений по потенциалу V.
Если положить
(1.7)
ТО
Z[/] = - ln/V + Z°[/.]-5[/] + _L_ s2[/] - _L_ 63 [/] + • • • . (1.8)
L о
В частности, если V = (ЛУ4 !)<р4, то можно провести разложение по
степеням безразмерной (в четырех измерениях) константы связи Л.
'Записывая
5 = 5^х + 52А2 + • • • * (1"9)
находим, что Z[J ] = - In N + Z°[J ] - [/ ]_х2 (62[/ ] _ _1_5*
[/]) -
-АЗ(83(/]_б,[/]52[/]+1-5?(/])+ ... . (1.10)
Разлагая экспоненту в формуле (1.7), получаем
5,[/]= _Д__ e^° [/] < ^ 54 ^ .-Z°[/ ]
Щ!р~ е <"577'>i<-i74->2e ит:'Д*
2 О -12)
Подставляя выражение (1 А) для Z0, приходим к выражению
(r)1 ^ &ха ^xb^xc ^xd^ а ?b^c ? d'* + ^^^хх^ха ^хЬ^а^Ь'**
в котором под знаком <. . . > нроизводится интегрирование по
соответствующим переменным ж, а, Ь, с, d. Аналогично, но несколько более
искусственным образом можно вычислить 82. Заметим, что если
Вычисление ФИТ методом теории возмущений: теория
113
вставить exp (- Z°}exp i Z0} в середину формулы (1.12), то
ул-Яг,г*<-4'>'<'г"''1Л- (!Л4)
Затем, с учетом разложения
S4 ,_г°_ S4e~Z° 53е~г° s ±R5*e~Z°
5/ 4 5/ 4 5/ 3 51 SI2
х -il iL + e-z°-^- <1Л5)
TF 6/ б/з s/4
можно написать
5 _ 1 к2 1 Z°w4 53e-^° g g2e-^°
Б/,3 6/. g/2
52 , 4 5e'Z° 53 + -Z" 5*
S/12 5/v -^T-)>iS,[/]. 0.18)
Сравнение с разложением (1.10) для Z[J ] показывает, что "несвязная"
часть 1/252 выпадает. Под несвязной частью мы понимаем вклад в выражение,
который может быть записан как произведение двух или более функционалов
от / . Этот термин станет очевидным в диаграммном представлении. То, что
Z порождает только связные куски, верно во всех порядках (см. задачу).
Например, вклад порядка Л3 в разложении (1.10) связный; действительно,
напишем
5з = --Г <eZ°V*VyV'SZ0>xy* =- -jjT< (e-Z°Vxe~z0^Z\e-Z°)>
x(^VZVirr I" <^-Z°^Z\v2e-Z°)>xyZ+S^-
1 з
p3
3!
s; [/] + S,t/]SC2 (/ ] + 5C3 [/ ]. (1.18)
114
Глава 4
В последнем выражении через 52 и 5^ обозначены связные куски. Чтобы
получить это выражение, мы использовали то обстоятельство, что имеются
только два типа "несвязности": либо все три переменные х, у, г несвязны,
либо одна переменная несвязна с двумя другими, причем последний вариант
можно получить тремя способами. Скобки в выражении (1.17) служат для
того, чтобы защитить другие члены от действия операторов производной
внутри скобок. С учетом формулы (1.18) член, возникающий в разложении Z,
можно переписать в виде
Наконец, явное вычисление связной части 62 приводит с точностью до
независящей от / части к выражению
С помощью формулы (1.2) находим выражения для связных функций Грина:
уу ху хbJ Ь хуаЬ 41 J а ах^хх^хуауЬ
^ Jа ^а L х
Х ^ус ^yd ^d ^ хуа Ь cd 2(4!) ^b ^а x^b х^ху^ус ^yd
* ^dl е? хуа bcdef *
(1.20)
Вычисление ФИТ методом теории возмущений: теория if*
115
+ - fd*xd*yA(x^ - х)Д2(* - у)Д(у - у)Д(х - *2) +
f2
+~4 fd,Axd*yдЦ -х)А(х _х)Д(х -у)Д(у -у)Д(у -х2) +
+ 0(Л3)> (1.21)
С<4) (*," ж2" жз" *4) " " ^ fd^xL{x 1 - х)Д(х2 - х)Д(х3 -х)Д(х4- х) +
Л2
+ 1-/^4^4д2 (* -у)[Д(*1 -х)А(х2-х) А(х3 -у)Д(ж4-у) +
+ Д(*1 -х)Д(*3 -х)А(х2 -у)Д(х4 -у) +¦ Д(х1 -х) х х Д(х4 -х)А(х2 -у)(х3 -
у)]+ - {d*xd*y х
х Д(у -у)А(х -у)[Д(ж, -х)А(х2 -х)Д(х3 -х)Д(х4 --у) + циклическая
перестановка ] + 0(Л3), (1.22)
. . . *е) = Л2 fd*xd*yA(x -y)Z А (х ¦ - х)Д(х • -х)
'' ' ("/*) '
А(хк-х)А(х1 -у)Д(хт_у)Д(хп -у) + 0(\3), (U3)
причем сумма в последнем выражении берется по тройкам чисел (? jk) =
= (123), (124), (125), (126), (134), (135), (136), (145), (146), (156), а
