Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
F(p) = 7 •*?(*), (2.2)
L(^)2
<2-3>
- во
И
-|-00 , A. f
6(4>(x-x')=S(x°-x°')6(x-x') = / е,(х~х (2.4)
-ос (2тт)4
где х-р = х° • р° - х°• р, a F - любая функция с достаточно хорошим
поведением. Экспонента под интегралом легко выражается через фурье-образы
функций <р и /; в результате в показателе экспоненты возникает выражение
J_ fd 4Р [ф'(р)[р 2 - m2 + i6 )ф'(-Р) - Т(Р){Р2 -m2+iе )~1Т(~Р)Ь 2
(2.5)
где Ф>) = ф(р) + (Р2 - m2 + k ~lf{p). (2.6)
Новая переменная 9' отличается от ф на константу в пространстве функций,
так что
Фф=Юф' (2.7)
Объединяя все результаты, находим
-l-fd4p ,<_L^9^9'--(m2-"09'2;
\[J] = Ne 2 P2-"2+i* ;v * 2 2 (2.8)
причем мы замечаем, что зависящий от ф' член оказался точно таким же, как
члён, зависящий от ф, в выражении (2.1) при / = 0. Следова-
Фейнмановский интеграл по траекториям в теории поля
85
тельно, ~ л-
1 г ,4, J(P)J(-P)
-- jap 2--------------2-------------
2 - m* + "s, ," qi
*"{/] = WjO] г • (2,9)
Выбрав должны)у1 образом N, можно положить 1Уо[0] = 1. Заметим, что Wom
можно формально вычислить, пользуясь формулами приложения А. Важно то,
что нам удалось найти явную зависимость И^Д/] оК ]. Пользуясь обратным
преобразованием Фурье, получаем
""[;]- КЛ, (2.10)
:0 LJ 1 - О где через AF12 обозначено A^Xj - х2):
,4. - ip • (х - у)
d P е v у т (2.11)
bF(*-y)- f (2тт)4 p2_m2+U
Это - фейнмановский пропагатор. Теперь можно интерпретировать
получающиеся из У/ функции Грина. Из выражения (1.10) находим
Go2) (*i* хг) = ' M*i ~ *2)' <2Л2)
г/04> (х^, х2, х3, х4) = -[Af(Xj - x2)Af(x3 - х4) +
+ AF(Xl - x3)Af(x 2 - х4) + Af(x1 - х4) Д,(х2 - Х3)]
(2.13)
и т.д. причем одновременно с этим все G с нечетным числбм переменных
обращаются в нуль. Последнее легко понять, так как W0[/] зависит только
от J 2. Попутно заметим, что все G являются функциями только разностей
координат, в чем отражается трансляционная инва-" риантность теории.
Другой вывод заключается в том, что все функции Грина более высоких
порядков можно выразить через G(Q2). Поэтому может оказаться более
удобным положить
= (2Л4)
и определить новые функции Грина с помощью Z[J ]:
iZ[J]= 2 iil^<G<jV)(1,.-..iV)/1. > • /jv>i ...w (2.15)
N N
86
Глава 3
Теперь мы видим, что по крайней мере в случае величина Gc на много проще,
чем G.
Выясним теперь физический смысл функций Грина, порождаемых функционалом
Прямым вычислением находим, что
(+ -я"2) (*) - (2.16)
тем самым отождествляя Д с функцией Грина оператора ? + т.2-
Граничные условия для нее определяются из (- (е) -процедуры, диктуемой
интегралом по траекториям. Поэтому можно отождествить Ар(х - у) с
пропагатором некоего сигнала из точки х в точку у. Сигнал представляет
собой состояния одиночной частицы или одиночной античастицы, поскольку
эти состояния являются решениями уравнения Клейна - Гордона
( ? + m2)q> = 0. (2Л7)
О том, какие решения распространяются, говорит нам (-к) -процеду-
ра. Можно показать, что решения с положительной энергией уравнения Клейна
- Гордона распространяются вперед во времени, а решения с отрицательной
энергией - назад во времени (см. задачу).
Поскольку эти решения должны быть сопоставлены состояниям частицы (или
античастицы) с энергией ? = р°=у р2 + т2 (или -\Jp2 + m2), мы приходим к
очень симметричной физической картине: информация переносится вперед во
времени частицами, а назад во времени - античастицами. Спросим себя,
например, сколькими способами можно перенести какое-то квантовое число из
точки х в точку у, если у нас имеется частица, несущая одну единицу этого
квантового числа, и античастица, несущая минус одну единицу. Квантовым
числом может быть электрический заряд, а частицей тт+-мезон. Ответ -
двумя способами: либо за счет распространения тт+-мезона из х в у с
уничтожением заряда +1 в точке х и переносом его в точку у, либо за счет
распространения тт~-мезона, античастицы для тг+-мезона, с переносом
отрицательного заряда из у в х.
Выводы: 1) мы установили, что рассматриваемая функция Грина есть
пропагатор определенных сигналов, и 2) мы знаем, какие сигналы она
распространяет. Отсюда естественно вытекает, что в нашем примере
состояния должны быть состояниями частид с массой т2, а функцию G(q5(x -
у) мы интерпретируем как амплитуду перехода частицы из точки xs в точку
у. Можно ввести диаграммное представление в х-пространстве, сопоставив с
Д^.(х - у) линию, связывающую две
Фейнмановский интеграл по траекториям в теории поля
87
пространственно-временные точки х и у:
с52)(** у)' * у
Для функций Грина высших порядков мы с помощью диаграмм добавляем вклады,
скажем, соответствующие формуле (2.13):
/ \ /.
С(0}(*1' Х2' Х3> *4');
X) хг
\
хг х3\
I \
X1 Xif
Х% Х2,
Ясно, что G(4)- существенно несвязный объект. Эту функцию можно
интерпретировать как амплитуду, например, перехода из xv х2 в *3, х4. В
данном приближении имеется лишь столько способов расйро-странения
сигнала, сколько изображено выше с помощью диаграмм.
Значительно более ясной оказывается интерпретация в пространстве фурье-
