Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
СапР2 + Ьир + сп) Q1 +- (anp2 + bl2p + C12) q2 = 0,
(а12р2~^~ Ь\чР +- C12) <7i +- (#22^2 4~ b22p + C22) <72 = 0-Напишем также выражение функции рассеяния:
Ф = \{biA + 2ЬпЬ я 2 + Ь22Я\)’ (4-49>
где в силу положительной знакоопределенности Ф должны выполняться неравенства
(4.48)
^ll > 0, #22 > 0, ^11^22-------^12 > 0.
Подставляя решение системы
Qi = Ciekt- = в уравнения (4.48) и сокращая на еи, получим (CinX2 + bn% +- C11) C1 +- [CiliW +- bn% + с12) C2 = 0, (а12Я,2 +- ^12A, -+ с12) C1 +- (о22Х,2 +- ^22X, +- с22) C2 = 0.
(4.50)
(4.51)
(4.52)
234
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IV
Характеристическое уравнение (4.6) в данном случае принимает вид
а\\№ + + cH- ап№ 4~ + ^i2
aI2^-2 + ^12^4“ C22, ^22Zv2 -|- 622л + C22
:0. (4.53)
Четырем корням этого уравнения соответствуют четыре решения, сумма которых, т. е. общее решение, определяет собой полное движение:
qx =ZrtiW, (4.54)
г=1 1=1
Из однородных уравнений (4.52) мы можем определить отношения коэффициентов:
C2^_______-Mn^t cIi ___________ аі2^І + йі2^-г + сі2 (4 55)
C^i й12^'і + *12^г-ЬС12 й12^? "Ь *22^t "Ь с22
Таким образом, каждая пара коэффициентов, соответствующая одному корню, находится в постоянном отношении.
Корни уравнения (4.53) устойчивы, в чем можно убедиться, например, с помощью критерия Рауса. Для упрощения вывода мы сделаем переход к главным координатам.
Итак, положим
Ч\ = 1^i jT ^2- Яъ = Mi + Неоткуда обратно
== fo — У'гЯі ^_______ l*i?i — Чг
H1 — (*1 1*2
Если Q1=ClBu и д2 = С2ем, то ft, и ^2 можно представить так:
$1 = ?>,еЧ % = D2eu.
Таким образом, главные координаты будут выражаться в тех же показательных функциях, а поэтому корни характеристического уравнения не изменяются.
§6]
СИСТЕМА С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
235
Из трех квадратичных форм в общем случае мы можем привести к линейной комбинации квадратов переменных только две. Итак, имеем
7- = 4-(01^1+02^),
2
Л = !(*{>? +С2<ф,
Ф = і МЇ + 2МЛ+М§).
где bv fr2, fr0— новые значения коэффициентов сопротивления. Дифференциальные уравнения принимают вид
(oi/?2 -f bxp + Cl) «j + bQp&2 = 0,1 ^2^1 + (^ + ^+^^ = 0- J Заметим, что коэффициенты подчинены условиям: ах > О, O2 > О, bі > О, Ь2 > 0, Ci > О, с2 > О, frifr2 — fro > 0.
Напишем уравнение частот в развернутом виде я і O2A. -)-(Oi^2H-O2^i) Я* —j— (oi с2 —|— O2Ci H- frifr2— ^o) Я, -j—
+ (^ic2 + ^2cD A, + CjC2 — 0. Разделим уравнение на OjO2 и введем обозначения:
. йі*2+й2*і . й1с2 + a2ci + *i*2 — ъ1
1 аха2 ’ 2 аха2 ’
д biCj -f- b2cі д C1C2
3 ata2 ’ 4 ata2
Очевидно, все эти величины положительные. Остается проверить знак дискриминанта xF4 (4.19). Имеем
4% = Ai Л2Лз — Лз — А\ Ait =
= \а^а2у [(ai^2+ a2^l) (а 1^2+ o2Cj+frifr2— fro)(^1^2+ fr2ci) —
— (fric2 + Vi)2 OiO2- (axb2 -f- o2fri)2 CiC2]. Произведя алгебраические преобразования, получим
= (Cnai)* f(a1^2 + a2^l) (^1^2 — fro) (frlC2 + fr2Cj) +
+ (O1Cj- O2Cj)2 fr^] > 0,
x. e. все корни устойчивые.
236
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IV
Рассмотрим возможные варианты решения в зависимости от корней характеристического уравнения:
1) корнн комплексные, попарно сопряженные:
= — «і ± Zv1, K3t 4 = — п2± N2.
Этот случай имеет место при малом сопротивлении. Движение представляет собой наложение двух затухающих колебаний:
¦01 = e~n>t [лі!) cos Vit + М!) sin Vi/] +
-tht CQS ^(2) sjn v^j ^
+ e
O2 = е~Пх* \Ap cos vi^-f-B^sin vid +
„-Пїі
[aP cos v2/ -f- B21 Sin V2/] •
(4.57)
Несмотря на то, что координаты O1 и O2—главные, они изменяются достаточно сложным образом. Решение зависит от
8 постоянных, которые подчинены четырем условиям (так как А и В зависят от С, для которых указаны четыре зависимости);
2) все корни действительные. Представим эти корни так:
^lj 2 ~~ — ^l Xi» ^3, 4 ~^2 ^2*
Тогда можно перейти к гиперболическим функциям:
01 = е~я,‘ [A1P ch Hit + M4 sh Xi/] +
-f- е'П2І [ Л® ch х2/ -f- Bp sh X2/],
02 = е~п'‘ [Ар ch Kit +- Bp sh Xi/] +
4- е~Піі [л® ch хг/ + Bi2 sh х2/].
Движение апериодическое, имеющее место при большом сопротивлении;
3) два корня — комплексные сопряженные, два — вещественные
Kit 2 = — H1 + iv, K3j 4 :
Решение имеет вид:
O1 = е~П[і [лі1' cos v/4-М1' sin v/] +
(4.58)
— n2 + x.
4- e~mt [ ЛІ2) Ch и/ 4- В? sh X/],
¦&2=e \Ap COS V/ 4- B^ sin V/] 4-
4- e Пг1 [Л22) ch х/ 4- Bp sh x/].
(4.59)
§ 7] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ БЕЗ СОПРОТИВЛЕНИЯ 237
Движение системы представляет собой наложение затухающих колебаний на апериодическое движение.
Пример. Два электрических контура имеют между собой индуктивную связь (рис. 109). Все параметры контуров заданы. Требуется найти силу тока в каждом контуре Zll Z2 ПРИ замыкании. Дифференциальное уравнение для одного контура мы уже выводили и исследовали (гл. II, §6, пример 2).
Здесь необходимо ввесть в уравнение каждого контура добавочный член, выражающий влияние другого контура через посредство коэффициента взаимной индукции М. Итак, имеем
