Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
215
как другая пара корней остается в устойчивой области. Эти последние могут быть также действительными. Мы можем положить
Z1 = — є -MY- zI — — є — iY-где є — какая-то малая величина. Тогда
Z1 -f- Z2 =¦ 2е, Z1Z2 = є2 Y2-
Вследствие устойчивости корней Z3 И Z4 можно положить
^3-M4 = —«' ^4 = P-
где а > О, р > 0. Составим выражение дискриминанта с точностью до малых первого порядка относительно є. Имеем
W4= 2 [Ct2Y2 + (Р -f- Y2)2] 0?.
Итак, знак 1F4 совпадает со знаком є, т. е. в устойчивой области дискриминант положителен.
Если одновременно два действительных корня переходят из устойчивой области в неустойчивую, то можно положить
Z1 = -E, Z2 = - Tl, Z3+Z4 = -a, Z3Z4 = р,
где Є, Tl, а, P — положительные величины, из которых є и Г| — малые. Тогда, подобно предыдущему приближению находим
1F4 = (є + ті) ар2,
т. е. и в этом случае дискриминант 4F переходит от положительных значений к отрицательным.
Таким образом, условия устойчивости заключаются в выполнении неравенств:
A1 > 0, Л2> 0, Л3>0, Л4> 0,
A1A2A3 — A3 —A1A4 > 0,
причем одно из двух первых неравенств есть следствие остальных. Подобно предыдущему, легко проверить выполнение условий Гурвица. В самом деле,
D1 = Ct1 = flg/lj > 0,
D3 = flifl2fl3 — ^ofl3 — Ctia4= Ao(^iА2А3 — A3 — A1A4) 0,
D4 = a4D3 = AgA4D3 >0.
Ho
А\ А2А3 ¦— A3 — Ai A4 = A3 (Al A^ — Л3) — A1A4 ]> 0.
916
ЛИНЕЙНЫЙ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IV
Следовательно,
-Vlj-Ai > > О,
а поэтому
= flIfl2 flSflO — flo(^l^2 Лз)
Для уравнения высших степеней вывод условий устойчивости получается уже значительно более сложным.
Пример. Характеристическое уравнение некоторой системы первого приближения имеет вид:
A4+ 2А3 +A2 + U + 1 =0.
Определить области значения неизвестного пока коэффициента k, чтобы система была устойчива.
Здесь
A1 = 2, A2=Ai = 1.
Условия
A1 > 0, A2 > 0, Ai > О
выполняются. Очевидно, что устойчивость возможна лишь в том случае, если A3-= k > 0. Однако это условие необходимое, но еще не достаточное. Образуем дискриминант Рауса
1F4 = -A1A2A3-A23- A21Ai = 2? — ?2 — 4.
Для устойчивости должно быть
Y4 >0.
Найдем корни уравнения 'F4 = 0:
A» —2A-f-4 = 0, A1,2 = I ±«1/1.
Итак, корни комплексные, а поэтому 1F4 сохраняет свой знак при любом k. Ho при k, равном нулю, 1F4 = —4 < 0, следовательно, условие положительности дискриминанта Рауса не выполнено, и ни при каких значениях коэффициента к система не может быть устойчива. Такие системы называются структурно неустойчивыми.
§ 4. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СЛУЧАЕ ПРЕНЕБРЕЖИМО МАЛОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
Предположим, что силы сопротивления столь малы, что ими можно пренебречь. Тогда все — 0 (4.2), и уравнение (4.1) примет вид
2 (fli;P2 + ci;)^==0, (4.20)
j*=i
ПРЕНЕБРЕЖИМО МАЛОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
217
где г = 1, 2, п. Решение этих уравнений можно искать в тригонометрической форме:
^y = aysin(^-)-p), (4.21)
где CLjt (5 — постоянные интеграции, а k— неизвестная пока величина, подлежащая определению.
Эти постоянные легко интерпретируются, именно: Cij — амплитуда колебания, P — начальная фаза, k — круговая частота. Решение в форме (4.21) возможно, если все корни уравнения (4.5) мнимые. Действительно, полагая X = Ik, от решения (4.3) приходим к решению вида (4.21), где k — величины действительные, что будет дальше доказано.
Подставляя значения qv q2, ..., qn из уравнений (4.21) в уравнения (4.20) и сокращая на sin (<fe/ —f— (3), приходим к системе алгебраических уравнений:
П
2 (Clj — a uk2) a j =0 (4.22)
или в развернутой форме:
(сп — ank2) a, -f-(C12 ~ al2k2) Ct2 4- ... -f- (cln — alnk2) ап = 0, (с21 — a21k2) Cil -f- (с22 a22k2) a2 —f— -.. —f— (c2n — a2„^2) a„ = 0,
(cn\ — an\k2) ai -f~ (cn2 — an2k2) a2 + • • • -f- (Cnn ~ an„k2) an = 0.
Для совместности этой системы ее определитель
Д (к2) =
ьп\
ank2,
Vnlk2........
'In '
¦alnk2
a„„k2
(4.23)
называемый определителем частот, должен быть равен нулю. Итак, получаем уравнение частот степени 2п, содержащее только четные степени k:
Д(/е2) = 0. ¦ (4.24)
Обозначая через AlAk2) миноры определителя (4.23), мы, как и прежде, имеем для каждого корня ks уравнения (4.24) следующее соотношение:
a<*>: а?>: ... : af ^Ajl(It2s) : Aj2(k\) Ajn(k2s)
218
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IV
ИЛИ
= (4-25) Каждому корню k2s соответствует система значений qj по формуле (4.21), определяющая так называемое главное колебание нашей системы. Общее решение получается в результате суммирования частных решений, т. е. полное движение системы есть результат наложения главных колебаний. Эго есть так называемый принцип суперпозиции (наложения) колебаний. Итак, имеем
П
Я і = 2 KsAji (k2s)sin(kst +P5)* (4.26)
S=I
где Ks, Pi—произвольные постоянные, J—номер произвольной строки определителя частот. Здесь мы имеем п постоянных Ks и п постоянных Pi — всего 2п произвольных постоянных. Миноры, соответствующие каждому корню ks> определяют, как говорят, форму главного колебания, т. е. отношение амплитуд с учетом синфазности или анти-фазности. На этом в общем виде задача может считаться решенной.
