Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
q"-\- 2?' + (б-)-є cos х) q = 0.
Будем искать его решение в виде ряда
..X1 г. X ... Зх . D Зх , q = A1 sin j -jTbI cos j + AiSin-J- +B3Cos-+ ....
иначе говоря,
00
Я = S U sin + Я* cos 4*). (3.155)
* = 1, 3, 5, ...
13 А. Н. Обморшев
194
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. III
Подставляя это разложение вместо q в дифференциальное уравнение и приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях, получаем бесконечную систему линейных однородных уравнений относительно A1, Bv A3, By ... Группируя члены, напишем эти уравнения так:
(б у є -^jA1 ZB1 -)- Y Е^з= 0’
QA1 + ^ у є — Ij-j B1-^y єВ3 = О,
YtA1-SrIb — -j-j A3 — 3?В3 -f- Y еА5 — ^
Y єB1 -f- %А3 -(- (б — -j-j B3 -)- Y е^5 = 0.
Полагая коэффициент пульсации є малой величиной, мы можем в первых двух уравнениях отбросить последние члены, получив однородные уравнения относительно A1 и B1. Эти уравнения имеют отличные от нуля решения, если их определитель равен нулю, т. е.
л 1 й-т-
1
1 і 1
T +Te
= 0.
Отсюда получается в первом приближении уравнение первой граничной кривой
1
!+С2 = о.
Легко видеть, что при C = O получается распадающаяся кривая
л 1
T :
4-
1
- Є,
соответствующая случаю консервативной системы (см. стр. 192). При малых значениях ? граничные кривые располагаются вблизи границ, соответствующих S = O (внутри областей неустойчивости). Таким образом, линейное сопротивление вообще расширяет области устойчивости системы. Мы можем процесс определения границ продолжить, если будем брать большее число уравнений (а).
§ 5) УРАВНЕНИЯ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 195
Е. Примеры
Пример 1. Обращенный маятник. Совершенно очевидно, что маятник OA (рис. 93), повернутый вверх около своей точки опоры О, неустойчив. Допустим, что этой точке опоры сообщено периодическое движение по вертикали так, что отношение ускорения а этого движения к ускорению силы тяжести g есть какая-то периодическая функция времени 0 (t).
Составим по правилам механики уравнение движения маятника в подвижной системе Oxy:
(J mh2) ф = mgh sin ср -f- mah sin ф,
где т — масса маятника, J — его момент инерции относительно центра тяжести G,h— 00. Полагая ф малым углом и линеаризируя уравнение, после упрощения получим
Ф + и2[1 + © (01 ф = 0,
где
mgh
J -|- mh2 ’
в (t) — —, а — s. g
Пусть период вертикального движения равен т, и
2л со - —. т
Переходя к новой независимой переменной x — ot, имеем:
ф = ю2ф",
где штрихом обозначена производная по х. Тогда уравнение движения примет вид
ф" + Y (*) ф = 0,
где
Иначе говоря, получаем уравнение Хилла. Если предположить, что ускорение а изменяется по ступенчатому закону (тогда скорость точки О изменяется в течение полупериода по линейному закону, а перемещение s — по закону параболы), то приходим к уравнению Мейснера, а если по гармоническому — к уравнению Матьё. Заметим, что в том и другом случае б < 0. Однако карты устойчивости в обоих случаях включают и отрицательные значения б. Таким образом, при определенных значениях параметров движения устойчивость возможна.
13*
196
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. III
Пример 2. Вертикальные колебания груза на тросе.
Груз M веса G подвешен к концу троса CD, верхний конец которого заделан неподвижно, а в сечении А трос периодически зажимается тисками (рис. 94). Площадь сечения троса равна F, модуль упругости Е.
Допустим, что время зажатия равно времени
освобождения троса, каждое из которых равно у.
Как и ранее, введем обозначение
2л
Рис. 94.
В данной задаче имеем колебания груза на упругом тросе, длина которого попеременно равна Ii и I2. Введем вспомогательные длины I0 и Al по уравнениям:
Ii — I0 -{- Al, I2 = I0 — Al
или
*o = y(*i + /2), Al = ^(Ii-I2).
Тогда коэффициент жесткости с может быть записан так:
EF EF 1
I0 =F Al I0
I =F
Al
или приближенно где
Co = -
С = С0(1 ±[i), EF
Al
H = T-. 1O
Уравнение движения груза примет вид ту + C0 (1 ± ц) У = 0.
Получили уравнение Мейснера, которое следует теперь упростить. Введем обозначения:
: at,
k2 = i2-.
Тогда, принимая за независимое переменное х, уравнение движения напишем в таком виде
У"+ (I-)2 (1 ± (0 у = о.
уравнени<
6=Ш2*е=|*6-
Чтобы привести это уравнение к нормальной форме уравнения Мейснера, положим
§ 5) УРАВНЕНИЯ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 197
....— ....... ... . і -I.. ..... —- -¦ •*
Следовательно, имеем
у" + (6 ± е) у = 0.
Это уравнение нами было исследовано и для него построена карта устойчивости (рис. 91). В координатах б, г уравнение
є = цб
представляет собой прямую, проходящую через начало координат и наклоненную к оси абсцисс под углом ft = arctg ц (рис. 95). Если эту прямую перенести на карту рис. 91, то она пересечет области устойчивости и неустойчивости; следовательно, в рассмотренной системе (рис. 94) возможен параметрический резонанс. Вводя
Il h
имеем
M 1 — Я
Я =-Г- < 1,
' arc?ff/i
