Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Все расчеты упрощаются, если обобщенные координаты подобны так, что в выражении кинетической энергии все atj — 0 при і ф j и в выражении потенциальной энергии все CiJ-O при іФ J. Иначе говоря, вместо формул (1.30) и (1.34) соответственно имеем
П П
т=HiaM' п(4-27>
t=i і= і
где поставлено at вместо atj и Ci вместо Cij-, так как суммирование выражается уже по одному индексу. Координаты qv q2, •••> qn, удовлетворяющие таким условиям, называются главными, или нормальными. Система совокупных дифференциальных уравнений лвчжения (4.20) в этом случае превращается в систему независимых между собой дифференциальных уравнений
(aiP2-\~cd Qt — 0’ (4-28)
ПРЕНЕБРЕЖИМО МАЛОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
219
где /=1, 2.........п. Решение имеет вид:
^ = CijSiii(V-F-Pi). (4.29)
где at, Pi — произвольные постоянные, а круговые частоты kt определяются по известным формулам:
(4-30)
Может возникнуть вопрос: если координаты избранной системы не являются главными, возможно ли путем соответствующего преобразования перейти к главным координатам? Оказывается, что этот вопрос имеет утвердительный ответ. Именно, всегда можно подобрать линейное преобразование координат, приводящее две квадратичные формы T и 17, выражаемые формулами (1.29) и (1.33), к виду (4.27), т. е. всегда можно подобрать главные координаты. При этом вся совокупность частот или, как говорят, спектр частот не изменяется. В самом деле, частоты связаны с физическими свойствами системы и, конечно, не могут зависеть от того или иного выбора координат.
Отыскание главных координат в общем случае представляет собой задачу не легче, чем решение уравнения частот при произвольно выбранных координатах, вследствие чего к ним прибегают, главным образом, в теоретических выкладках. Мы воспользуемся ими, например, при исследовании затухающих колебаний и при изучении резонанса. При этом ограничимся лишь случаем двух степеней свободы. Конечно, задача оказывается весьма простой, если мы сразу сможем указать главные координаты.
Покажем теперь, что уравнение частот (4.24) имеет относительно k2 все действительные положительные корни. Допустим среди этих корней имеются комплексные сопряженные. Например,
k\ = 1 + /Tl, &2 = !-----ill-
Тогда должны быть попарно сопряженными такие соответствующие миноры определителя, как, например, Ajr(k?) и A)T{kг). Этим минорам пропорциональны соответствующие амплитуды колебаний
220
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IV
где Ki и K2 — произвольные постоянные, которые можно принять, например, равными единице. В таком случае и а<2> оказываются также сопряженными. Положим
Ci(I) = Xr + Iyr, a<2> = хг — Iyr.
Напишем теперь одно из уравнений, служащих для определения амплитуд, соответствующих корню k\\
Умножим каждое из этих уравнений на а№ и просуммируем по j от 1 до п:
2 2 {cjr—ajrk\)d»a?> = 0.
Подставляя сюда значения aj.1) и а(2> и производя перегруппировку членов, получим
2 2 (СJr - aJf^XrXj + У]УГ) +
+ I2 Jj (cJr — ajrk2) (.Х)уг - хгУ]) = 0.
Легко видеть, что все члены второй двойной суммы попарно сокращаются, вследствие чего, разрешая написанное уравнение относительно k\, находим
2 2 CjrXfr + 22 Wt Ь% — 7 = 1 ' = I '=1
1 п п п п
2 2 aJrxJxr +2 2 aJrbyr
J = 1 /• = 1 у = 1/-=1
Мы видим, что k2 есть действительная величина, вследствие чего г] = 0, а тогда действительными должны быть и амплитуды, т. е. все уу = 0. Остается показать положи-
ПРЕНЕБРЕЖИМО МАЛОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
221
тельность k\. Для этой цели перепишем предыдущее выражение так:
П П
-L V У с . X .X
2 H H jr / k\ — —
у = I /-=1
Здесь в числителе стоит квадратичная форма, равная значению потенциальной энергии- системы, в предположении, что обобщенные координаты qj = .Vy-; аналогично в знаменателе оказывается кинетическая энергия при q-} = т. е.
к2_П(х)
Т(х)
Так как П (х) и Г (х) — знакоопределенные положительные квадратичные формы, то k2 есть величина не только действительная, но и положительная, что и требовалось доказать. Заметим, что ]/k2 мы берем только с положительным знаком, так как вследствие произвольности Ks и Pi отрицательные значения k не дают нового решения.
Решение уравнения частот, как и характеристического уравнения, представляет собой уже чисто алгебраическую задачу. Известно, что точное решение этой задачи вообще возможно лишь для полных уравнений не выше 4-й степени. Ho даже для уравнений 3-й и 4-й степени применение регулярных методов практически бывает затруднительно. Поэтому часто пользуются всевозможными численными и графическими методами приближенного решения, применимыми также к уравнениям высоких степеней. Иногда бывает возможно левую часть характеристического уравнения представить, хотя бы приближенно, в виде произведения двух или большего числа полиномов достаточно низких степеней, и тогда решение значительно облегчается. В ряде конкретных случаев заранее заготовляются специальные таблицы, графики или номограммы, с помощью которых получается достаточно быстрое и вполне удовлетворительное решение.
