Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Flx = — тЦ = msa2 sin at,
F2x = — m2l = msffl2 sin at,
F iy = F 2y = 0.
§ 7] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ БЕЗ СОПРОТИВЛЕНИЯ 241
Принимая за обобщенные координаты углы <р и ф, найдем обобщенные возмущающие силы из выражения элементарной работы, которое напишем в двух системах координат:
0Ф 6<р + Оф Н = F\х Sx1 -j- F2x 6х2.
Так как
^1=Zsinip, X2 = Z (sin ф 4~ Sin ф),
то
Sx1 = / cos ф бф,
6х2 = I (cos ф бф 4~ COS ф 6ф).
Полагая, вследствие малости углов ф и ф, cos ф « 1 и приравнивая коэффициенты при одинаковых вариациях, находим
Оф = 2м/502 SinaZ, Q1J1 = mlsa2 sin aZ.
Рис. HO.
Из выведенных прежде (глава IV, § 5, пример 2) дифференциальных уравнений свободных колебаний двойного маятника в данном случае получим
(2ml2р2 2mgl) ф -j- ml2p2ф = 2mlsa>2 sin со/, ml2p2<f -(- (ml2p2 mgl) i|: = mlsa2 sin aZ.
Тогда A (a2) =
2 mgl — 'ImPsi1, — wZ2ffl2
— ml2®2, mgl — ml2OO2
= m2Z2 [2 (g—la2)2 — Z2OO4].
H1 — Hrf =‘2 nils®2, H2 = H^ — тіш2.
Теперь по общим формулам (4.67) найдем амплитуды вынужденных колебаний:
а.
1
а,
[Яф Ы - л22®2) - Щ (сп - «ізо)2)],
Ч> = Д ((О2) (Сп ~ ЛП®2) — ^ф.(С12 — й12®2)]-
ч> Л (оо2) 1
Подставляя в уравнения движения и упрощая, найдем
SOO2 (2g — Zoo2) .
= Tw-----------^975-------7Ї—Г Sin fflZ,
2 (g — Zoo2)2 — Z2OO4 2g-soo2
2 (g — Zoo2)2 — Z2OO4
Sin оо/.
16 А. Н. Обморшев
242
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IV
Обратим внимание на то обстоятельство, что при ley* = 2g колебания первого маятника полностью гаснут, тогда как колебания второго маятника определяются уравнением
і * s®2 j +
гЬ* =--------sin at,
g
т. е. находятся в противофазе с возмущением.
Пример 2. Динамический поглотитель колебаний. Отмеченное сейчас свойство связанных колебательных систем имеет важное техническое применение в так называемом динамическом поглотителе колебаний (рис. 111). Пусть на массу M (главную массу), установленную на пружине C1, действует возмущающая сила
Q =//sin (и^-f-б). К этой массе прикрепляется на пружине C2 вспомогательная масса т (или масса поглотителя), назначение которой — гасить колебания главной массы.
Принимая за обобщенные координаты вертикальные перемещения X1 и х2, отсчитываемые вниз от положения равновесия центров тяжести обеих масс, получим
Mx1 = — C1X1 4- C2 (X2 — X1) +
-f- H sin (cot -j- 6)t
тх2 = — C2 (х2 — xt),
илн
[Mps (C1 4~ C2)] X1 — C2X2 =
= Hsin (otf 4- 6). — C2X1 4- (тр2 4- с2) (X2 =0.
Пользуясь выражениями для Ci1 и а2,
* H (с2 — та2)
¦sin (00^4-?, х\
находим
Hc2
sin (00*4" 6)i
где
1 - Д (а2) ' 1 2 Д (а2)
д (®2) = (cj 4-с2 — Ma2) (с2 — /коз2) — с\.
Для гашения колебаний главной массы должно быть C2 — та2 — О,
что возможно только при одной определенной частоте. Тогда х* = 0, х\ = — sin (at 4- 6 — я).
C2
Аналогичные устройства применяются также для гашения крутильных колебаний, но там роль масс играют моменты инерции.
§ 8] СОПРОТИВЛЕНИЕ, ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЕ СКОРОСТИ 243
§ 8. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С СОПРОТИВЛЕНИЯМИ,
ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫМИ СКОРОСТИ
Рассмотрим, наконец, вынужденные колебания произвольной системы с линейным сопротивлением под действием MOHO-гармонического возмущения. В этом случае дифференциальные уравнения движения на основании уравнений (1.39) примут вид:
2 (ацР2 H- btjp + Cij) q} = Hi sin (at + У). (4-73)
где /=1, 2, ..., re. Вследствие наличия в левых частях уравнений первых производных от координат по времени, уже нельзя в частном решении обойтись одним синусом того же аргумента. Придется вводить также косинус или, что одно и то же, сдвиг фазы.
Выполним расчет для случая двух степеней свободы. Имеем дифференциальные уравнения
(aIlP2 Н~ ^llP Н~ cIl) Яі Н~ (а12P2 H- ^12P + сіг) Яї =
= H1 Sin(G^H-Y).
(aIiP1 H- b12p-j- C12) 9] (а?2Р2H- b&P H- с22) Яг =
= Zf2Sin (CD^ —|— Y).
частное решение которых ищем в виде
<7* = a* sin [at -+- y — E1), 1 q\ = а* sin (erf -I- Y —е2). J
(4.74)
(4.75)
Разлагая здесь синус, можем q* и q2 представить еще и так:
q\= M1 Sin(Wf-I-Y)H-^1 cos (at —|— y)> ) я\— M2 sin(®f-|-Y)-|- N2Cos (at+ у), J
(4.76)
244
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IV
или обратно
¦-ум\+щ, tge5 = -^-, Vtl=Yщ+щ.
(4.78)
• b12 aN 2 — H1,
Для определения Mv M2, Nv N2 подставим q* и q* из формул (4.76) в систему уравнений (4.74). Перенесем в полученных уравнениях все члены в одну сторону, собрав отдельно члены с синусами и членами с косинусами, и приравняем нулю коэффициенты при синусах и косинусах. Получим четыре уравнения с четырьмя неизвестными, именно:
(Сц — a,,©2) M1 — ftjjwN, +
H-(Ci2-Ai2O)2) M2-bjjtoM}-1- (с„ — Яц®2) Nj -|-
-)- ^12CoAf2 -(- (с]2---Aj2CO2)/V2 = О, і
(^12--- aJ2(°2) ^^
~l~ (С22 fl22®2) M2 b22(l)N2 = H2,
^l2COyVf1 -(- (С]2-- A12CO2) ^I ~Ь
H- b H- (C22 — A22CO2) N2 = 0.
Решая эту систему уравнений относительно M1, N1, M2, N2, мы тем самым получим и решение нашей задачи. Определитель системы (4.79) имеет вид