Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Обморшев А.Н. -> "Введение в теорию колебаний " -> 62

Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.

Обморшев А.Н. Введение в теорию колебаний — Москва, 2000. — 278 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriukolebaniy2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 72 >> Следующая


Flx = — тЦ = msa2 sin at,

F2x = — m2l = msffl2 sin at,

F iy = F 2y = 0.
§ 7] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ БЕЗ СОПРОТИВЛЕНИЯ 241

Принимая за обобщенные координаты углы <р и ф, найдем обобщенные возмущающие силы из выражения элементарной работы, которое напишем в двух системах координат:

0Ф 6<р + Оф Н = F\х Sx1 -j- F2x 6х2.

Так как

^1=Zsinip, X2 = Z (sin ф 4~ Sin ф),

то

Sx1 = / cos ф бф,

6х2 = I (cos ф бф 4~ COS ф 6ф).

Полагая, вследствие малости углов ф и ф, cos ф « 1 и приравнивая коэффициенты при одинаковых вариациях, находим

Оф = 2м/502 SinaZ, Q1J1 = mlsa2 sin aZ.

Рис. HO.

Из выведенных прежде (глава IV, § 5, пример 2) дифференциальных уравнений свободных колебаний двойного маятника в данном случае получим

(2ml2р2 2mgl) ф -j- ml2p2ф = 2mlsa>2 sin со/, ml2p2<f -(- (ml2p2 mgl) i|: = mlsa2 sin aZ.

Тогда A (a2) =

2 mgl — 'ImPsi1, — wZ2ffl2

— ml2®2, mgl — ml2OO2

= m2Z2 [2 (g—la2)2 — Z2OO4].

H1 — Hrf =‘2 nils®2, H2 = H^ — тіш2.

Теперь по общим формулам (4.67) найдем амплитуды вынужденных колебаний:

а.

1

а,

[Яф Ы - л22®2) - Щ (сп - «ізо)2)],

Ч> = Д ((О2) (Сп ~ ЛП®2) — ^ф.(С12 — й12®2)]-

ч> Л (оо2) 1

Подставляя в уравнения движения и упрощая, найдем

SOO2 (2g — Zoo2) .

= Tw-----------^975-------7Ї—Г Sin fflZ,

2 (g — Zoo2)2 — Z2OO4 2g-soo2

2 (g — Zoo2)2 — Z2OO4

Sin оо/.

16 А. Н. Обморшев
242

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

[ГЛ. IV

Обратим внимание на то обстоятельство, что при ley* = 2g колебания первого маятника полностью гаснут, тогда как колебания второго маятника определяются уравнением

і * s®2 j +

гЬ* =--------sin at,

g

т. е. находятся в противофазе с возмущением.

Пример 2. Динамический поглотитель колебаний. Отмеченное сейчас свойство связанных колебательных систем имеет важное техническое применение в так называемом динамическом поглотителе колебаний (рис. 111). Пусть на массу M (главную массу), установленную на пружине C1, действует возмущающая сила

Q =//sin (и^-f-б). К этой массе прикрепляется на пружине C2 вспомогательная масса т (или масса поглотителя), назначение которой — гасить колебания главной массы.

Принимая за обобщенные координаты вертикальные перемещения X1 и х2, отсчитываемые вниз от положения равновесия центров тяжести обеих масс, получим

Mx1 = — C1X1 4- C2 (X2 — X1) +

-f- H sin (cot -j- 6)t

тх2 = — C2 (х2 — xt),

илн

[Mps (C1 4~ C2)] X1 — C2X2 =

= Hsin (otf 4- 6). — C2X1 4- (тр2 4- с2) (X2 =0.

Пользуясь выражениями для Ci1 и а2,

* H (с2 — та2)

¦sin (00^4-?, х\

находим

Hc2

sin (00*4" 6)i

где

1 - Д (а2) ' 1 2 Д (а2)

д (®2) = (cj 4-с2 — Ma2) (с2 — /коз2) — с\.

Для гашения колебаний главной массы должно быть C2 — та2 — О,

что возможно только при одной определенной частоте. Тогда х* = 0, х\ = — sin (at 4- 6 — я).

C2

Аналогичные устройства применяются также для гашения крутильных колебаний, но там роль масс играют моменты инерции.
§ 8] СОПРОТИВЛЕНИЕ, ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЕ СКОРОСТИ 243

§ 8. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С СОПРОТИВЛЕНИЯМИ,

ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫМИ СКОРОСТИ

Рассмотрим, наконец, вынужденные колебания произвольной системы с линейным сопротивлением под действием MOHO-гармонического возмущения. В этом случае дифференциальные уравнения движения на основании уравнений (1.39) примут вид:

2 (ацР2 H- btjp + Cij) q} = Hi sin (at + У). (4-73)

где /=1, 2, ..., re. Вследствие наличия в левых частях уравнений первых производных от координат по времени, уже нельзя в частном решении обойтись одним синусом того же аргумента. Придется вводить также косинус или, что одно и то же, сдвиг фазы.

Выполним расчет для случая двух степеней свободы. Имеем дифференциальные уравнения

(aIlP2 Н~ ^llP Н~ cIl) Яі Н~ (а12P2 H- ^12P + сіг) Яї =

= H1 Sin(G^H-Y).

(aIiP1 H- b12p-j- C12) 9] (а?2Р2H- b&P H- с22) Яг =

= Zf2Sin (CD^ —|— Y).

частное решение которых ищем в виде

<7* = a* sin [at -+- y — E1), 1 q\ = а* sin (erf -I- Y —е2). J

(4.74)

(4.75)

Разлагая здесь синус, можем q* и q2 представить еще и так:

q\= M1 Sin(Wf-I-Y)H-^1 cos (at —|— y)> ) я\— M2 sin(®f-|-Y)-|- N2Cos (at+ у), J

(4.76)
244

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

[ГЛ. IV

или обратно

¦-ум\+щ, tge5 = -^-, Vtl=Yщ+щ.

(4.78)

• b12 aN 2 — H1,

Для определения Mv M2, Nv N2 подставим q* и q* из формул (4.76) в систему уравнений (4.74). Перенесем в полученных уравнениях все члены в одну сторону, собрав отдельно члены с синусами и членами с косинусами, и приравняем нулю коэффициенты при синусах и косинусах. Получим четыре уравнения с четырьмя неизвестными, именно:

(Сц — a,,©2) M1 — ftjjwN, +

H-(Ci2-Ai2O)2) M2-bjjtoM}-1- (с„ — Яц®2) Nj -|-

-)- ^12CoAf2 -(- (с]2---Aj2CO2)/V2 = О, і

(^12--- aJ2(°2) ^^

~l~ (С22 fl22®2) M2 b22(l)N2 = H2,

^l2COyVf1 -(- (С]2-- A12CO2) ^I ~Ь

H- b H- (C22 — A22CO2) N2 = 0.

Решая эту систему уравнений относительно M1, N1, M2, N2, мы тем самым получим и решение нашей задачи. Определитель системы (4.79) имеет вид
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 72 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed