Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
aI — flH + 2aI2IxI + а22^Ь а2 = flIl + 2flI2^2 + а22^2’ С\ — cIl + 12^1 + С22^1‘
С2=С11 + 2СЛ+С224
(4.44)
мы из уравнений Лагранжа придем к двум независимым уравнениям колебаний
O1O11 + CiO1I = О, O2O2+ C2O2 = О,
(4.45)
определяющим свободные колебания с круговыми частотами
(4.46)
Как уже указывалось выше, на основании физических соображений, от преобразования координат частоты не меняются. Для двух степеней свободы этот факт легко устанавливается также математически из линейности преобразования (4.41).
Решение уравнений движения принимает вид
O1 = O1 sin (A1^ +P1), O2 = O2 sin (k2t-\- р2). (4.47)
230
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IV
Допустим, что система совершает только первое главное колебание с частотой kv Тогда по формулам (4.41) и (4.47) находим
= G1 = а, sin (А ,/+р,),
qf = Ia1G1 = Ji1C1 sin (kxt + P1).
Аналогично имеем для второго главного колебания: qV> = G2 = а2 sin (k2t + р2), gf] = Ji2G2 = JX2O2 sin (k2t + p2).
Вспоминая уравнения (4.39) и (4.41), мы видим, что множители Ji1 и Ji2 здесь те же самые, что и определяемые по формулам !'4.39). Именно Ji1 и Ji2 являются отношениями миноров определителя частот и характеризуют формы главных колебаний.
Пример 1. Рассмотрим свободные колебания двух связанных грузов (рис. 104). Отсчитывая координаты X1 и X2 от положений статического равновесия грузов Oi и O2, мы тем самым исключаем из рассмотрения веса грузов. Составим непосредственно дифференциальные уравнения движения по заданной схеме:
MiXl=-CiXi+ C2 (X3-Xi),
т2х2 = — C2 (х2 — Xi).
Уравнение частот имеет внд Ct + C2- тt62;
— C2, C2 —
Для упрощения возьмем случай mi—m2 = m
- C2 • m2k2
--C2 = C- Тогда
Cn= 2с, C12 = -C, C22=C, Oii = а22 — т, а(2 = 0,
и уравнение частот принимает вид
т2к* —Smck2 —|— с2 = О,
откуда
1 с
= ‘4(з±ут).
2 т
По формулам (4.39) находим
212*1
С\ 2 — aI 2*2
СИСТЕМА С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
231
нли
4/5+1), Ii2-------4-(/6-1),
т. е. колебания с меньшей частотой kt синфазны (грузы движутся в одну сторону (рис. 105, а)), а колебания с большей частотой k2 антифазны (грузы движутся в противоположные стороны (рис. 105, б)). В первом случае узла нет, во втором имеется один узел К¦ Легко проверить что уравнение (4.43), принимающее вил ц2 — ц — 1 =0, дает те же значения щ и ц3.
\ А
¦Z) \ 1 \
а) тгЗ'
Рис. 105.
Рис. 106.
Пример 2. Колебания двойного маятника (рис. 106). Будем рассматривать малые колебания системы в случае
It = I2 = I
т.
/и2 = т,
за обобщенные координаты примем углы ф и ?. Составим выражения кинетической и потенциальной энергии в общем виде:
T = Y mIlWjT J т2 [lW + lhh C0S (Ф —Ф) Фф+^Ф2]-
П = Jriigli (I — cos ф) -|- m2g [I1 (I — cos ф) +12 (I — cos ф)].
Так как колебания малые, то с точностью до малых второго порядка имеем:
ф'
cos ф = I---------------Tj-,
cos ф *
Тогда, учитывая, что тх -T =
I-
ф2
~г
COS (Ф — ф) = 1-
(ф-ф)а
2
I, получим (2ф2-|-2фф4- ф2),
т2 = т, I1 = I1 ml2
2
232
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IV
= O1
Составив дифференциальные уравнения движения по (1.6), найдем C11 = 2mgl, C12 = O1 C22 = Mgl, аи = 2т/2, a(s — ^22= ml2.
Уравнение частот
2 mgl—2 ml2k2\ —ml2k2
— ml2k2\ mgl — ml2k2
после упрощений, принимает вид
l2k* — 4glk2 + 2g2 = Q.
Отсюда
k\ =-JL(2-|/2~X ^=-^--(2 + /2).
Из уравнений (4.39) находим коэффициенты ц, и ц2:
(1,=/2; (I2=------/I
Пример 3. Стержень, подвешенный на двух пружинах различной жесткости (рис. 107). Приведенная схема конкретизируется,
например, в рессорном подве-У//////////////////////////////////////Л шиваиии автомобилей, вагонов
1 и т. п.
Отсчитывая перемещения г и ф от положения статического равновесия, иаходим T и П:
Г=±МІ2 + 1/ф2;
з—1 ^ = -K-C1 (г — /(ф)2 +
I
+Y с2 (г+ І2^У >
Рис. 107. где M — масса стержня, J—
его центральный момент инерции. Уравнения движения имеют вид
Mz -|- (C1 -{- с2) г -{- (C2I2 — CiIi) ф = O1
Уф -)- (с/, Н“ сг4) Ф~Ь (cJ-2 — c\h) г = 0.
Если параметры системы таковы, что удовлетворяется условие
CiIi = C2Itt
СИСТЕМА С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
233
то координаты г и ф — главные. Предполагая, что этого иет, напишем формулы преобразования координат к главным, считая tfi=?- д2 = г:
Ф = + 'в'г.
* = +Mv
л
Выясним смысл H1, ц2 и ^ii Ф2. Пусть система совершает только первое главное колебание (1S2=O)- Тогда Z = Hi^i-Ф = Oi1. Следовательно, стержень совершает угловое колебание вокруг некоторой точкиР (рис. 108, а), главная координата Ai1 есть угол поворота относительно этой точки, а щ — расстояние проекции С на Рис- 108.
горизонталь от Р. Аналогично
интерпретируется второе главное колебание (рис. 108, б) как вращение вокруг точки Q. Заметим, что один из центров P или Q ле-
жит в пределах стержня, другой вне его.
§ 6. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Дифференциальные уравнения малых движений (не обязательно колебаний) автономной системы с учетом сил линейного сопротивления имеют вид
