Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
(L1P2+RiP + ) h + MpH2 = о,
= 0.
Рис. 109.
Деля первое уравнение на L1, второе на L2 и вводя обозначения
M
U
1
І2
1
Ri 2 L1
R2
2 Lo
VL1L2 ’ Vl1Ci ’ Vl2C2
мы можем характеристическое уравнение написать так:
(Я2 -j- cIglX -|- Z2)(A2 -f 2g2X -f /q) — JC2X4 = 0.
Если бы контуры не были связаны индуктивно, то коэффициент % был бы равен нулю, и мы получили бы распадающееся уравнение. Если можно пренебречь сопротивлением, Togi-^2 = O и характеристическое уравнение получится биквадратное. В общем случае исследование производится согласно изложенной теории, где
(I11 = Lj, d\2 М, H22 L2,
Ьц =Ri, Ь12 = 0, Ь22 — R2t
1 л 1
C11—"g— , C12 — О, C22 —
В зависимости от параметров системы токи Zi и Z2 могут быть колебательными и апериодическими.
§ 7. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ БЕЗ СОПРОТИВЛЕНИЯ
Рассмотрим вынужденные колебания произвольной системы без сопротивления под действием периодического возмущения. Так как для линейных систем имеет место принцип суперпозиции, то можно ограничиться рассмотре-
238
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IV
нием возмущающих сил, действующих по гармоническому закону с одним аргументом, т. е. рассмотреть случай так называемого моногармонического возмущения. При этом дифференциальные уравнения движения на основании (1.39) и (4.20) имеют вид:
П
2 (aIjP2 + cIj) Я} = hI sin (fid + у), (4.60)
где Z=I, 2, ..., п. Общее решение системы
Яі = Яі + Я*і> (4-61)
где qt — решение соответствующих однородных уравнений, определяющее собственные колебания системы, q*. — частное решение, определяющее вынужденные колебания, которые ищем в тригонометрической форме:
q* = a* sin (cot -f- y). (4.62)
Подставляя это решение в уравнение (4.60) и сокращая на Sin(O)Z-I-lY)- получим систему алгебраических уравнений:
i(Cij-autf)a*=Hr (4.63)
Обозначая определитель системы (4.63) через cH — 0цО)2 ... Cln — а1па
A(O)2)==................................. (4.64)
• -Ss > I ~ аио)2 . • с1я «1„0)2
*«1- -anio)2 , • спп апп®2
а минор элемента Z-й строки у-го столбца через Ац (ш2), получаем такие значения амплитуд:
Tl
S н‘Ач м- <4-65>
І = 1
Очевидно, формулы (4.62), (4.65) имеют смысл лишь тогда, когда А (ш2) 4= 0, т. е. когда ни одна из собственных частот kt системы не совпадает с частотой возмущения ш; в противном случае наступает резонанс, при котором расчет выполняется по особым формулам. Итак, система имеет столько резонансных частот, сколько имеется степеней свободы.
§ 7] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ БЕЗ СОПРОТИВЛЕНИЯ 239
Рассмотрим более детально задачу о вынужденных колебаниях системы с двумя степенями свободы, т. е. когда п = 2. В этом случае вид уравнений (4.60), (4.63) и (4.64) очевиден, причем определитель системы Д (со2) можно представить очень просто в развернутой форме:
Д (to2) (сп — A11M2) (с22 — а22<о2) — (с12 — яI2M2)2- (4.66) Выражения амплитуд (4.64) принимают вид
ai= TWT[Hl ^22 ~ ~ н<2 ^12 ~ ai2“2)1,
a2 =" Tpy [Я2 ^11 _ ~ Яі (Cl2 ~ С12®2)]-
(4.67)
Обратимся теперь к случаю резонанса, предположив, что частота to изменения возмущающей силы совпадает с одной
из частот собственных колебаний. Пусть, например, a = k1,
для исследования движения обратимся к главным координатам, в которых уравнения движения системы с двумя степенями свободы имеют вид:
aI^1 + cA= 01- 1 .. } (4.68)
а2^2 + C2^2 — ©2» ]
где 0J и 02 — обобщенные силы, подлежащие определению. Для этого воспользуемся выражением элементарной работы в двух системах координат:
Ql + Qi ^?2 = 01 + ^2
Имея в виду формулы преобразования (4.41)
^1 = ^1 + ^2- 92 = ^1^1 + ??'
подставим значения bqx и Ц в выражение работы. Вспоминая, что
Q1 = ^sin(O)/+ у). Q2 — Я2 sin (to/ + Y). из сравнения коэффициентов при Sfr1 и 6? находим
01 = (Яі + ViH2) sin (at + у),
02 = (#! + Ii2H2) sin (<о/ + у).
(4.69)
240
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IV
Подставив найденные значения 0, и 02 в уравнения (4.68), поделим их соответственно на O1 и а% и введем обозначения:
/?2=- li* ~Ь V-JL2
1 Ctl ' і а,
1,2__ С2 ь* HI ~t~ Й2^2
2 A2 ¦ 2 Д2
(4.70)
где A1, A2— собственные частоты системы. Имеем
^i-F-Aifti= Л* sin (?0^ —|- Y)* 1
$2(0)^ —у), j
Сделаем теперь предположение, что (O = A1 =? A2. Тогда частные решения уравнений (4.71) будут иметь вид
(4.71)
* Zt1 / я\
= ^ sin Vco^Y-----2 j *
= Т2--------2 S‘n W + 1V)-
*2 — ®
Переходя к прежним координатам, получим
h* ( л \ Ii
?2 — ^sin (ю* H- Y —j) + sin M + Y)'
(4.72)
т. е. при резонансе неограниченно возрастают обе координаты, если они не являются главными. Аналогичные рассуждения можно привести для случая to = A2 Ф Aj.
Пример 1. Вынужденные колебания двойного маятника под влиянием горизонтальных гармонических колебаний точки подвеса (рис. 110).
Пусть закон движения точки подвеса О выражается уравнением
I = s sin at.
Положим для упрощения Ztil = т2 — т, Il = Ii=^l и воспользуемся для изучения относительного движения методом сил инерции. Выражения этих сил таковы:
