Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Clk
Ah = -
СІ0
(4.16)
Кроме того, имея в виду вообще комплексные корни, будем писать Z = AT+ Zy вместо X. Итак, будем исследовать уравнение
zn + AiZn-i + A2Zn-2+ ... +Aa_lZ + Aa = 0. (4.17)
1) Очевидно, для устойчивости единственного корня должно быть A1 > 0, а поэтому и D1 > 0;
2) при п = 2 уравнение (4.17) принимает вид
Z2 A1Z A2 = 0.
Обозначая корни этого уравнения через Z1 и Z2, имеем A1 = (Z1 -(- Z2), A2 = Z1Z2.
*) Доказательство критерия Гурвица можно найти в литературе, посвященной вопросам устойчивости движения, см., напри-
мер,
M-
14*
212
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IV
Легко видеть, что как в случае действительных отрицательных, так и комплексных корней с отрицательной вещественной частью, должно быть A1 > О, A2 > 0, т, е. D1 > О, D2 >0.
3) п = 3;
Z3 -f- A1Z2 -(- A2Z -(- A3 = 0. (а)
Найдем выражение критерия Рауса для этого случая. Будем рассматривать изменение корней в зависимости от изменения коэффициентов A1, A2, A3, которые для удобства можно
предположить зависящими от не-Z которого параметра и. Тогда при
изменении этого параметра аффикс каждого корня Zk (рис. 100), т. е. соответствующая точка в комплексной плоскости корней, опи-
сывает какую-то траекторию. Назовем правую полуплоскость об-Рис. 100. ластъю неустойчивых корней,
а левую — областью устойчивых корней. Ось Oy является границей устойчивости; на ней корни делаются чисто мнимыми или нулевыми.
Положим, что на границе устойчивости Zk = 0. Тогда A3 = 0. Обратно, изменение знака A3 свидетельствует об изменении распределения корней по областям устойчивости и неустойчивости.
Допустим теперь, что Zk находится на границе устойчивости, принимая чисто мнимое значение Zk = Iyk. Подставляя это значение в уравнение (а) и отбрасывая для упрощения индексы, получаем
— Iy3 — А\у2 4- A2iy -(- A3 = 0.
Написанное равенство возможно лишь в том случае, если
— ЛіУ2 -(- A3 = 0; (у2 A2) у = 0.
Исключая отсюда у, получаем уравнение
AiA2 — A3 = 0,
левая часть которого есть так называемый дискриминант Рауса:
КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
213
Найдем знак этого дискриминанта в области устойчивости, для чего разобьем левую часть уравнения (а) по корням:
(z — Z1) (z — Z2) (z — Z3) = 0.
и из сравнения коэффициентов напишем соотношения:
--(zI zIjsT 2з)’
^2 ~ (Zl Н~ Z2) Z3 Ч" 2I22'
A3= Z1Z2Z3.
Если все вещественны и отрицательны, то, очевидно: >0; A2 >0; As > 0.
Допустим теперь, что
Z1 = -P-jT-Iq, z2 = — p — lq, Z3 = -г, где р, q, г — действительные положительные числа. Тогда A1 = 2р -f- г > 0,
A2 = P2-jTq2-jT 2рг > 0,
A3= г (р2-^q2) > 0.
Следовательно, положительность коэффициентов есть необходимое условие устойчивости, однако это условие не является достаточным. Для вывода достаточного признака сделаем сначала предположение, что при наличии двух устойчивых корней — действительных или комплексных — один действительный корень переходит из устойчивой области в неустойчивую. Очевидно, при этом A3, перейдя через нуль, станет отрицательным.
Сделаем, далее, предположение, что пара комплексных корней переходит в неустойчивую область. Положим
P = г,
где є — малая величина, положительная или отрицательная. Подставляя значения A1, A2, A3 в 4F3 и отбрасывая малые высших порядков, найдем:
Ч'з= 2є Cq2-jTr'2).
Следовательно, при переходе комплексных корней в неустойчивую область (е < 0) дискриминант Рауса 4F3 делается отрицательным.
214
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IV
Если все три корня переходят через границу устойчивости, то меняют знак не только 4F3, но также A1 и A3.
Итак, критерий устойчивости Рауса для уравнения 3-й степени заключается в выполнении неравенств
A1 > О, A2 > О, A3 > О, A1A2- A3 > О,
причем одно из первых двух неравенств следует из остальных. Нетрудно убедиться, что с помощью критерия Гурвица мы получим аналогичные условия.
4) ге = 4;
zA A1Zz A2Z2 -|- A3Z + A4 = 0.
На границе устойчивости при Zk — 0, A4 = 0. Если Zk = iyk, то, отбрасывая индексы, имеем
У* — Ia1Vz — А2У2 + і Агу + A4 = 0,
откуда
У4 — А2у2-\- A4 = 0, (АУ-А3)у = 0.
Предположим, что у Ф 0. Приходим к уравнению
A1A2A3 — Al— A21Ai = 0,
в левой части которого стоит дискриминант Рауса
W4 = A1A2A3-A23-A21Ai- (4.19)
Обозначая корни уравнения через Z1, z2, z3, Z4 подобно предыдущему, легко находим
A1 = — [(^i -J- Z2) + (z3 -J- Z4)],
A2 = (Z1-J- z2) (z3 -J- Z4) -J- Z1Z2 -J- Z3Zi,
A3 = — [(^1 -)- z2) Z3Z4 -J-(Z3 -J- Z4) Z1Z2],
A4 = (Z1Z2)(Z3Z4).
Можно убедиться, что при всех устойчивых корнях эти коэффициенты положительны. Предположим теперь, что по крайней мере один из корней переходит в неустойчивую область. Если это произойдет с одним действительным корнем, то меняет знак по крайней мере коэффициент A4, то же будет при одновременном переходе через границу устойчивости трех корней. При всех неустойчивых корнях по крайней мере A1 < 0.
Допустим теперь, что одна пара комплексных корней, например Z1 и Z2, переходит в неустойчивую область, тогда
