Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
В заключение заметим, что в некоторых задачах из уравнений движения исключается время и в качестве независимого
208
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IV
переменного принимается какая-либо координата, называемая основной или несущей. Тогда можно оценивать устойчивость движения по отношению к этой координате. Однако это уже будет устойчивость не в смысле близости возмущенного и невозмущенного состояния системы, а в смысле близости траекторий. Такая устойчивость называется орбитальной. С ней приходится, например, встречаться в технике железнодорожного транспорта, когда несущей координатой является длина дуги (в частности, прямой) осевой линии рельсового пути; относительно этой координаты и оценивается устойчивость, а не относительно времени. В теории часовых механизмов играет существенную роль фазовая диаграмма и, следовательно, устойчивость фазовой траектории. Таким образом, здесь имеем также орбитальную устойчивость.
В. Примеры
Пример ность радиуса
1. Материальная точка массы т описывает окруж-г0 под действием центральной силы притяжения, пропорциональной я-й степени радиуса. Найти условия устойчивости траектории в зависимости от п.
В курсе теоретической механики [11J выводится формула Бинэ для движения под действием центральной силы:
тс1
1
г2 V ^Ф2 r J
Здесь F — сила взаимодействия точки т с центром силы О (знак минус соответствует силе притяжения), с — постоянная площадей, или удвоенная секторная скорость точки. В нашем случае F = — агп, где а — некоторый коэффициент. На рис. 98 показана основная траектория в виде окружности и часть возмущенной.
Вводя обозначение
1
U = —
г
и приравнивая оба выражения для F, имеем "-{¦и- 4 1
УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ
209
где штрихами обозначена вторая производная по (р. Применяя метод возмущения, полагаем
и = и0 г,
где г — возмущение орбиты. Так как в невозмущенном состоянии а" = 0, U0 = — , то г о
а = „В + З тс2 0
Составляем варьированное уравнение орбиты:
г" + U0 г =
(и0 z)n~r2
или
+ + г =
Разлагая правую часть в биномиальный ряд, линеаризуя и сокращая, Получаем
z" + z + (n + 2)z = 0
или
z" (п 3) z = 0.
Если л + 3<0, имеем условие второй теоремы Ляпунова, траектория неустойчива; если п-1-3;>0, имеем особые случаи (третья . теорема), для рассмотрения которых нужно взять следующие члены разложения. Случай п —}— 3 > 0 будет отвечать устойчивой траектории и условие устойчивости определится неравенством
п > — 3.
В случае п =— 2 имеем изменение силы F по закону всемирного тяготения.
Пример 2. Даны следующие уравнения движения: х = у -J- ал:3, у = — х ау3.
Исследовать вопрос об устойчивости.
Если ограничиться уравнением первого приближения, то, отбросив члены с а, получим
х —|— X = 0,
для которого характеристическое уравнение имеет мнимые корни, X = ± i. В этом случае решение линейного уравнения имеет вид
х = А cos (( р).
|4 А. Н. Обморшев
210
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IV
Однако, согласно 3-й теореме Ляпунова, мы не можем ничего сказать об устойчивости исходной системы.
Рассмотрим в плоскости Oxу (рис. 99) произвольную точку M с радиусом-вектором г. Обозначим квадрат этого радиуса через р:
р = X2 -f- у2-
Далее возьмем производную по времени от р с учетом уравнения движения:
= 2 (хх -f- уу) = 2а (х4 -f- у4).
Теперь мы можем сказать, что если а < 0, то < 0, и р убывает, стремясь к нулю
(по условию всегда р > 0). Если же а > 0,
dp
то
dt
> 0 и р неограниченно возрастает.
Итак, при а < 0 движение устойчиво. При а > 0—неустойчиво. Заметим, что идея, положенная в рассмотрение этого примера, по существу есть идея так называемого второго метода Ляпунова *).
§ 3. КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
Признаки, позволяющие делать заключение об устойчивости системы без решения дифференциальных уравнений движения, называют критериями устойчивости. Весьма удобный критерий устойчивости, опирающийся на соотношения между коэффициентами характеристического уравнения, был дан в 1877 г. Раусом и в 1895 г. в измененной, но более удобной форме Гурвицем.
Допустим, что мы имеем характеристическое уравнение с вещественными коэффициентами:
асЛ” + аі^” * + ••• +ал-і^+ал — 0. (4.14)
где а0 > 0, что, конечно, не является ограничением. Будем называть корни этого уравнения устойчивыми, если они вещественные, отрицательные или комплексные с отрицательной вещественной частью. Образуем из коэффициентов
*) О втором методе Ляпунова см., например, [и].
КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
211
определители по следующему закону:
D1-
iv D2-
flg Cln
O1 ай 0
Il CO Q а3 а2 Cl1 •
а5 Ct4 а3
Ct1 а0 0 . . 0
Dn = а3 Cl2 Cl1 . . 0
а2п -і а2п — . • ап
(4.15)
где ак — 0, если & > я.
Коэффициентный критерий устойчивости определяется теоремой Гурвица: для того, чтобы все корни уравнения (4.14) были устойчивы, необходимо и достаточно, чтобы все определители (4.15) были положительны.
He приводя доказательства этой теоремы по причине его сложности, ограничимся ее проверкой для простейших случаев *). Предварительно разделим уравнение (4.14) на а0 и введем обозначения
