Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Для общности предпочтительнее говорить о фазовых координатах и отсчитывать их от заданного состояния, т. е. брать вариации обобщенных координат и их производные. Тогда для механических систем, описываемых дифференциальными уравнениями второго порядка, число уравнений удвоится, что у нас уже имело место в случае систем с одной степенью свободы при интерпретации движения на фазовой плоскости.
Обозначим эти новые координаты, являющиеся вариациями фазовых, через X1, X2........Xm; для них будем иметь си-
стему т уравнений первого порядка, которые предположим
УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ
205
разрешимыми относительно производных [18]. В этих уравнениях выделим линейные части. Будем рассматривать лишь так называемое установившееся движение (в частности, состояние покоя), когда эти линейные части имеют постоянные коэффициенты. Итак, имеем уравнения возмущенного движения:
dxx dt dx.2 dt PllxI-jT P\2Х2 jT • • PcIXxI 4“ ^22-^2+ • • • Ч- Plmxm ~Ь ^I' • Ч- Рчтхт~^Т^2’ (4.9)
dxm dt PmlxIjT Pm2x2JT • • -sT PmmxTnjT Xm-
Здесь P1J — постоянные коэффициенты, и X1........Xm — нелинейные функции Jf1, Jf2........................хт, которые предполагаются
разложенными в степенные ряды, начинающиеся с членов не
ниже второго порядка относительно переменных X1, X2.....хт.
Такие системы называются системами Ляпунова.
Б. Устойчивость по первому приближению
Если в уравнениях (4.9) отбросить нелинейные части Ar1, X2, ..., Xm, то получится система уравнений первого приближения:
dxx dt dxi dt ¦—Р\\Х\Л~ P\2Х2~\~ •• PfIlxI Ч~ Р22х2~)г •• • + Plmx т' • + Р2тхт< (4.10)
dxm dt PmlxI jT Pт2х2 + • • Рттхт-
К этой системе, в частности, приводятся системы уравнений второго порядка (4.1) после введения в качестве новых зависимых переменных обобщенных скоростей qj. Решение ищем в виде
Xj = Cjext, (4.11) .
206
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IV
где у' = 1, 2.... т. Подставляя эти значения в систему (4.10),
после сокращения на еи имеем
(Pu----^)^1 + ^12^2 + ••• + Plnfim-Q'
Plfil + (/? — ^) ^2 + • • • + PrIttfim — 0’
Ptnfil + Pmfii + • • • + (Р п
¦К) с*
0.
Для совместности этой системы ее характеристический определитель
Д(Х) =
Pn-I Pl2 ¦ • Plm
Р21 РЧ2 • Plm
Pml P m2 • Pmm Я"
(4.12)
должен быть равен нулю, откуда получаем характеристическое уравнение системы первого приближения'.
Д (X) = O. (4.13)
Совершенно очевидно, что если система уравнений (4.10) получена из системы (4.1) при т = 2п, то корни уравнений (4.5) и (4.13) тождественно совпадают. Заметим, что в общей теории устойчивости принято оперировать именно с уравнениями первого порядка типа (4.9) или после линеаризации (4.10). Все сказанное выше о корнях уравнения (4.4) остается в силе и для уравнения (4.13).
Ляпунову принадлежат следующие три теоремы, которые мы сформулируем без доказательства *).
1. Теорема об устойчивости по первому приближению. Если все корни характеристического уравнения (4.13) системы первого приближения (4.10) имеют отрицательные вещественные части (в частности, они вещественны и отрицательны), то система, описываемая полными уравнениями (4.9), устойчива.
2. Теорема о неустойчивости по первому приближению. Если среди корней характеристического уравнения (4.13) системы первого приближения (4.10) встречается хотя бы один вещественный или хотя бы одна
*) Доказательство приводимых здесь теорем Ляпунова можно найти в [12], [31], [и].
УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ
207
пара комплексных сопряженных с положительной вещественной частью при всех прочих корнях, имеющих отрицательные вещественные части, то система, описываемая полными уравнениями (4.9), неустойчива.
3. Теорема об особенных случаях. Если среди корней характеристического уравнения (4.13) системы первого п риближения (4.10) встречаются хотя бы один нулевой или одна пара чисто мнимых корней, то по уравнениям первого приближения невозможно сделать заключение об устойчивости или неустойчивости исходной системы (4.9).
Оценка устойчивости линейных систем по виду корней характеристического уравнения, изложенная в предыдущем параграфе, очевидна. На основании первых двух теорем Ляпунова мы можем заключить, что нелинейные части Ar1,
X2.....Xm, разложенные в степенные ряды, не влияют на
характер устойчивости, установленный по уравнениям первого приближения. Именно, эти части не могут «испортить» устойчивую систему и «спасти» неустойчивую. Ho вот особенные случаи надо исследовать уже с учетом нелинейных членов.
Напомним, что, занимаясь изучением нелинейных колебаний систем с одной степенью свободы при интерпретации движения на фазовой плоскости, мы уже касались в неявном виде этих теорем (стр. 132). В самом деле, было указано, что дифференциальное уравнение (3.8) фазовой траектории нелинейной системы, т. е. уравнение
dy _ ах+by+ Qi (х, у) dx сх+ dy+ Px (х, у)
дает ту же топологическую структуру, а следовательно, и те же особые точки, что и линейная система (для которой Pi (х, y) = Qi(X, у)=0), если только коэффициенты линейной части разложений (т. е. а, Ь, с и d) одновременно не равны нулю. В противном случае [P1 (х, у) ф 0, Q1 (х, у) ф 0] получаются особые точки высшего порядка, неизвестные в теории линейных систем. Таким образом, в первом случае мы имеем геометрическую интерпретацию первых двух теорем Ляпунова, а во втором — третью теорему, когда принципиальную роль играют члены высших порядков.
