Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Пример. Продольные колебания системы, состоящей из четырех грузов равных масс т, связанных попарно тремя одинаковыми пружинами с коэффициентом жесткости с (рис. 101).
222
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IV
За обобщенные координаты примем расстояния хъ х2, х3, Xi центров тяжести грузов от их положений равновесия, причем очевидно, что положения одного какого-либо груза мы можем
Рис. 101.
задавать произвольно. С помощью выражений кинетической и потенциальной энергий:
Г = -І (тххj -]- т2х14- тъх\ + mA-?)-
/7= у [Cl (х% Xi)2 -J- C2 (X3 X2)2 C3 (X1 х3)2\
составим дифференциальные уравнения движения:
ГП-іХі — Cl (х2 — X1) = 0,
т2х2 -f с, (х2 — Xi) — C2 (х3 — х2) = 0,
т3х3 C2 (х3 — X2) C3 (х^ — х3) = 0,
TniXi + C3 (Xi — хъ) — 0.
Интересно отметить, что, складывая почленно эти уравнения, получаем
TnxXx -\-т2х2-\- Tn3X3 -]- TniXi — 0,
откуда
т і X1 -(- Tn2X2 тг'х3 TniXi = const,
т. е. сумма количеств движения всех масс сохраняет постоянную величину, что вполне понятно, так как внешние силы отсутствуют. Мы можем поэтому утверждать, что одна из четырех степеней
свободы обусловлена продольным движением всей системы в целом
как сплошного твердого тела, а остальные три соответствуют колебаниям.
По условию Tni = Tn2-=Tni = Tni-Tn', C1 = C2 = C3 = C. Тогда дифференциальные уравнения движения можно написать так:
тхх -)- схх — сх2 = 0,
/
т,
VWWWW-
4'*н
тг VWWW ЛА
ПРЕІІЕБРЕЖИМО МАЛОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
223
Уравнение частот имеет вид
с — mk2 — с О О
— с 2 с — mk2 —с О
О —с 2 с — mk2 —с
О О —с с — mk2
= 0.
Можно показать, что один из четырех корней этого уравнения равен нулю, что соответствует упомянутому движению всей системы в целом. В самом деле, величина определителя, как известно, не изменится, если ко всем элементам какой-либо строки прибавить соответствующие элементы любой другой строки. Прибавим к элементам первой строки соответствующие элементы всех прочих строк. Тогда все элементы первой строки будут содержать множитель k2, который мы можем вынести за знак определителя, получив при этом
k2
- т — т — т — т
¦с 2 с — mk2 — с О
О — с 2 с — mk2 — с О 0 — с с — mk2
= 0,
т. е. один корень действительно равен нулю. Вводя для сокращения обозначение
mk2
—----= г,
перепишем уравнение частот в упрощенном виде
1 — Z — 1 0 0
— 1 2 —г — 1 0
0 — 1 2 —г — 1
0 0 — 1 I-Z
Д (г) = = 0.
“ ' / П 1 О 1
Разложим определитель по элементам первой строки:
2 —z — 1 0 — 1 — 1 0
(I-Z) — 1 2 — z — 1 + 0 2 — z - -1
0 —1 1 — Z 0 — 1 1- - Z
и вычислим по известным правилам входящие сюда определители третьего порядка:
(1 - г) [(2 - z)2 (I - z) - (I - z) - (2 - z)] +
+ [-(2-г) (1 — г) 1] = 0.
После упрощений приходим к уравнению
Zi — 6г3 -(- IOr2 — 4z = 0.
224 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. IV
Это уравнение имеет один очевидный корень г — 0. Для отыскания других корней надо решить кубическое уравнение
г3 — 6z2 -(- IOz — 4 = 0.
Непосредственной подстановкой убеждаемся, что г = 2 есть корень этого уравнения. Делением наг — 2 приходим к квадратному уравнению
Zi — 4г + 2 = 0, корни которого имеют вид
z = 2±У~2.
Располагая корни в возрастающем порядке, имеем
Z1=O, z2 = 2-/2, г3 = 2, = 2 + /2-
Зная г, легко найти к, а также период т каждого главного колебания.
Займемся теперь отысканием формы главных колебаний. Известно, что амплитуды колебаний пропорциональны минорам соответствующих элементов какой-либо строки определителя частот. Составим миноры, например, для первой строки
2 —г — 1 0
Ли (^) = (- D1j1 — 1 2 —г — 1
0 — 1 1 — г
— 1 — 1 0
Л12 (2) = (— 1)ш 0 2 — z — 1
0 —¦ 1 1 —Z
— 1 2 —г 0
л13 (г) = (— 1):+3 0 — 1 — 1
0 0 1 —Z
— 1 2 —г — 1
Лм (г) = <— 1)44 0 — 1 2 —г
0 0 — 1
Подставляя последовательно все корни, находим
1) Z = 0, An=I, Ai2=I, Ai3=I, Aii= 1;
2) * = 2-/2, Ац=-1, Ai2 = — (/"2 — I), An = V 2-1,
ли = і;
3) z 2, -Дп — I, A12 = —1, -Ліз =— I, Ali = 1;
4)г = 2 + /2, -A11 = — I, Ais = Y 2 + 1, *-(/2 + 1),
Л,4 = 1.
СИСТЕМА Є ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
225
Эти результаты удобно представить графически, откладывая по ординатам отклонения грузов в какой-либо момент времени, иначе говоря, откладывая значения миноров (рис. 102).
Рис. 102.
Схема а дает «нулевую» форму — равномерное движение системы, как твердого тела, схемы б, в и г дают соответственно 1, 2 и 3-ю формы колебаний. Буквой К отмечены узлы, т. е. такне точки в системе, которые в данном колебании остаются в покое.
§ 5. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Рассмотрим свободные незатухающие колебания системы с двумя степенями свободы. В этом случае уравнения движения (4.20) имеют вид
ОвцР2 + Cu) Qi + («12P2 + Cia) Ь = 0> \
(апР2 jT С1г) Ql “Ь (а22Р2~\~ С2ї>Чч = J ^ ^
где коэффициенты CliJ И C1J входят в выражения кинетической энергии T и потенциальной энергии П:
т = Т (апQ\ + 2aIiQib + а22?2)> (4-32)
77 =T (сп?1+ 2с12едН- C22Ql). (4.33)
