Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
15 A1 Н, Обморшев
226
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IV
Согласно теореме Сильвестра (стр. 26), для того чтобы
квадратичные формы Г и Я были знакоопределенными, положительными, должны выполняться неравенства:
aU >°* «22 >0’ «и«22~ а?2>°- I
СП>0> С22>°- СПС22-С12>°- J (4 34)
Решение системы
= аг sin (^г1 -)— р), q2 = а2 sin (kt р) (4.35)
подставим в уравнение (4.31). Сокращая на sin(^-j-P)-получим
(сп — ank2) а, + (с12 — а12/г2) а2 = °. J (cI2 — aI2^2) «1 + (С22 — а22^2) а2 = 0. J Уравнение частот (4.24) в этом случае принимает вид А (k2) = (сп — ank2) (сп — a22k2) — (с12 — a12k2)2 = 0. (4.37)
Даже не прибегая к доказанной общей теореме о положительности корней уравнения частот, мы можем сделать в этом случае заключение о характере корней на основании очень простых соображений. Предположим для определенности, что
Cu С 22
aIt а22
введем обозначение z = k2. Далее дадим величине z ряд значений и определим в каждом случае знак A (z). Принимая во внимание неравенства (4.34), имеем
А (0) = C11C22 Cj2 > 0,
<0’
Afe)=“(Cl2~°wft) < °*
A (-f- оо) = -j- оо > 0.
Последнее соотношение справедливо в силу того, что знак А (-)- оо) определяется знаком старшего относительно z члена, именно, знаком коэффициента при Z2, который в силу (4.34) положителен
апа22 aI2 0'
§S]
СИСТЕМА С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
227
Корни A(Z)1 а их меняет знак, т. е.
два, лежат в тех интервалах, где А (z)
О < Z1 <
gIl
aW
<—2~<г2<сю.
В точках Z1 и Z2 (рис. 103) парабола пересекает ось абсцисс, что является геометрической интерпретацией установленного факта. Итак, корни уравнения частот действительны и положительны.
Предельный случай мы имеем при
A (-llI — А = 0,
\ aH ) V а22 )
когда
С» ____ С22 __ С12
Дц й22 Й12
т. е. имеем случай равных частот. Тогда каждое из двух уравнений (4.36) обращается в тождество, и колебания по двум координатам будут происходить независимо одно от другого, но с одной и той же частотой.
Рассматривая случай неравных корней, можем написать уравнения движения при первом и втором главных колебаниях:
<ft) = GfIbsin (V-H1). #2 = a21)sin (V+Pl)-
дО)= a'2'sin (V+Рг)’ ?22) — a2] Sіn ( V + Рг)-Из уравнений (4.36) имеем Cl.
• = И/
(4.38)
а</>
(4.39)
где і = 1, 2. Таким образом, при каждом главном колебании амплитуды находятся в постоянном отношении, определяющем форму колебания. Легко видеть, что числители и знаменатели дробей в отношении (4.39) представляют собой миноры определителя частот, которые в случае двухстепенной системы приводятся просто к элементам определителя, взятым с тем или иным знаком.
15*
228
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IV
При каждом главном колебании обе координаты находятся либо в одной фазе, когда [х > 0, либо в противоположных, когда [і < 0, т. е. колебания происходят синфазно или анти-фазно. Однако во всех случаях изменения обеих кооординат осуществляются синхронно, иначе говоря, с одной частотой. Результирующее движение определяется уравнениями
q1 = CtW sin (kxt + P1)-f ctf sin (k2t + p2), I
I /4 40)
q2= aS,1' sin^Z + Pj) + a(22' sin(?2Z + P2). j
Итак, полное колебание представляет собой результат суперпозиции двух главных синусоидальных колебаний. Если какой-либо множитель \it отрицателен, то для сохранения положительности обоих значений а(<) (поскольку амплитуда всегда положительна) относят знак минус к синусу, прибавляя или отнимая от аргумента я. Число постоянных, входящих в решение, равно 6, но из них 4 связаны двумя зависимостями (4.39). Таким образом, произвольных постоянных остается четыре.
Обратимся теперь к вопросу о переходе к главным координатам. Пользуясь замечательным свойством Систем линейных однородных дифференциальных уравнений, заключающимся в том, что все искомые переменные могут быть умножены на один и тот же множитель без нарушения системы уравнений, мы зададимся линейным преобразованием координат наиболее простого вида, именно, положим
<7i = 92 = M1I + Мг> (4-41)
где Oi1 и O2 — новые координаты, а ^1, (х2— некоторые постоянные. Подставим эти значения координат qx и q2 в выражения (4.32), (4.33) для T к П. После группировки членов получим
T = Y {(ап + 2ai2^i ~Ь aZiV1I) ^1+- 2 [ап +- O12([Aj + (A2) +-+ а22^1^2І ^1^2 Ч- (°П ^а12^2""^~ а22^г) ^2}’
П==\ 1(СИ 2С12^1 + C22^l) ^ + 2 [cn + C12(^l + ^2) +
+ С22^1 ^2] (С11 ~l~ 2c12^2 “t- С22^1)
Выберем теперь множители Ji1 и Ji2 так, чтобы выражения, заключенные в квадратные скобки, как для Т, так и для П,
СИСТЕМА С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ-СВОБОДЫ
229
обратились бы в нуль. Для этого должны удовлетворяться два уравнения:
ап + atIa (M-і + 1?) + а22^і^2= О*
cH + C12 (IiI + Ix2) + ^ггМ^іМ-г= О-
откуда
(Xiix2: Щ + Mi2:
#11^12 — #12^11 ^12^22 — #22^ 12
а12С 11 --&ПС22
#12С22----а22С12
(4.42)
Согласно теореме Виета, получаем для определения (X1 и |Х2 следующее квадратное уравнение:
(^i2C22 — а22с12) |Х2 (^22C11 aIic22) Mi +
+ (^iicI2- Oi2Cn) = 0. (4.43)
Можно показать, что корни этого уравнения вещественные. Введя обозначения:
