Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Л (со2) =
(4.80)
Обозначая, как мы это делали, миноры определителя сим-1V1
cIl \ I I о 8 с12 — Аі2®2 — ^12CO
Ьпа Cn — А,,©2 ^I2CO С12~ - A12CO2
с12 — A12CO2 — ^I2CO С22 — A22CO2 ^22®
^l2CO CI2 flI2®2 Ь22 Co С22 — ft to to 8 to
волом AiAa2), получим расчетные формулы:
= AWJ [HlA" (С°2) + (С02)1’
— д (Ш2) (02) H- Fi2A32 (CO2)],
M2 — д IHlAn (со2) H- H2A33i (со2)], Ni — Д[^Ин (02) 4“ ^Из4 С®2)]'
(4.81)
§ 8] СОПРОТИВЛЕНИЕ, ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЕ СКОРОСТИ 245
Можно показать, что ни при каких значениях со определитель Д (оз2) не обращается в нуль, оставаясь всегда положительным.
Пример. Жидкостный успокоитель качки корабля типа Фрама. Схематически устройство успокоителя изображено на рис. 112. В плоскости поперечного сечения А корабля устанавливаются
Рис. 112.
резервуары В с жидкостью удельного веса у, образующие замкнутую цепь с дросселирующим устройством D для воздуха, занимающего часть цепи. Масса жидкости, заполняющей резервуары, оказывает восстанавливающее действие на отклоненный корабль.
Примем для упрощения расчета упомянутую цепь за круговое кольцо среднего радиуса г, с площадью поперечного сечения s и центром О, который предположим совпадающим с центром вращения корабля при качке. За обобщенные координаты примем угол качки ср и угол поворота Ф уровня жидкости в кольце относительно корабля.
Возвращающее действие оказывает вес жидкости, равный 2ysr (ср — д), центр тяжести находится на прямой ab. Потенциальная энергия равна работе, совершенной весом жидкости объема bd при перетекании в объем ас, что соответствует приближенно понижению центра тяжести на величину 2 • г (ср — д) = г (ср — д). Итак, имеем:
П = с (ср — д)2,
где
с = 'Iysri.
Пренебрегая для упрощения вертикальным перемещением центра тяжести корабля, для кинетической энергии системы находим:
Г = у[-Лф2 + Л(ф-«П
17 А. Н. Обморшев
246
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IV
где Ji — момент инерции корабля относительно оси О, J2 — момент инерции жидкости относительно той же оси. На корабль действуют еще возвращающий момент воды — с0ср, момент сил сопротивления — Ь0ф и возмущающий момент волны — H sin at. На жидкость в резервуарах и трубопроводе действует также момент сил сопротивления — Ь&.
Из уравнений Лагранжа:
d / дТ\ дТ , дП L • , „ . ,
— —т- — — + — = — Соф— b^ + Hsmat, dt \ ду J <?<р дф
±.(*т.\-—+—=-ъЬ
dt \ дЬ} д$
находим уравнения движения системы:
[(У, -f J2) Pi 4- Ьар 4- (Co 4- с)] ф — (J2P2 4- с) Ф = H Sln COt,
— (JiPi 4-О ф + (JiP2 4- Ьр 4- с) ¦& = о.
Решение определяется уравнениями (4.75), (4.78), (4.79) и (4.81),
где
01 = ф*. 9*2 = Y = О, Я, = H, H2 = О,
Hi j Jj 4~ J2 ^ JIі 2 — — J2, ^l22 — J2,
Ьи === Ь^, bi 2 О, Ь22 — ь,
Cl I = C0 4“ ^12”-- С* ^22 “ с*
Некоторое упрощение получается лишь за счет того, что H2 = О, 6,2 = 0. При отсутствии описанного стабилизирующего устройства уравнение качки корабля имело бы вид
(JiP2 4~ Ьар 4-с0)ф = H sin at,
решение которого было дано в главе 11. При отсутствии сопротивлений — J0cp и Ь§ мы получили бы задачу принципиально не отличающуюся от рассмотренной в предыдущем параграфе.
§ 9. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЙ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
Решение дифференциальных уравнений движения систем с двумя и более степенями свободы, а следовательно, и нахождение собственных частот колебаний этих систем часто бывает связано с громоздкими вычислениями. Если к тому же еще учесть, что во многих прикладных вопросах механики оказывается достаточным определение лишь приближенных
§ 9] ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТЫ 247
значений собственных частот различных форм колебаний, а подчас лишь собственной частоты основной формы колебаний, то решение задачи в таком случае прямым методом является мало оправданным.
Ниже рассматриваются некоторые приближенные методы определения частоты сложных систем и дается численное сравнение результатов.
А. Метод Рэлея
Сущность этого метода состоит в том, что заранее делаются некоторые допущения относительно конфигурации системы во время колебаний. Таким образом, налагая ограничения на колеблющуюся систему, вообще говоря, приходят к рассмотрению системы с большей жесткостью, чем данная, вследствие чего получается более высокая частота колебаний по сравнению с истинной.
Из закона сохранения механической энергии имеем
7-)-/7 = const.
Если считать, что упругие колебания отдельных точек системы около их положения равновесия происходят по гармоническому закону, то отклонения можно представить уравнением
у = у0 cos pt, (4.82)
где р — циклическая частота колебаний, у0—уравнение формы колебаний.
Тогда все точки упругой системы одновременно проходят через положение равновесия, имея наибольшие скорости, и одновременно достигают крайних положений, когда их скорости обращаются в нуль. В первом случае имеем максимум кинетической энергии системы, во втором — максимум потенциальной. Если теперь обозначить потенциальную энергию системы в положении равновесия через Jlst, то уравнение энергии можно будет переписать в следующем виде:
