Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
T'max + Пst — Лтах jT Hst
или
^max — -^rnav (4.83)
17*
248
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IV
т. е. начальное значение потенциальной энергии не играет никакой роли. Кинетическая энергия определяется выражением:
T-f-Zf** = IjTiwP*- <4'84)
О о
Так как из уравнения (4.82)
ду .
~дГ = ~УоР sin Pt-
то
I
" —? шах — 2
¦ j* т (х) y2Qdx. (4.85)
о
Потенциальная энергия также находится по известной формуле механики:
і
о
откуда
n==if(^JEIdx' (4-86)
f [%-)EIdx- (4-87)
о
Приравнивая Tmax и Лтах друг к другу и решая полученное выражение относительно интересующей нас частоты р, получим
і
EI I (y0?dx
P2 =-----т---------. (4.88)
J тУо
2 dx
Из этого выражения видно, что если бы нам было известно точное уравнение формы колебаний у0, которая является некоторой функцией от х, то при подстановке его в полученное выражение можно было бы получить точное значение искомой частоты р.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТЫ 249
Метод Рэлея заключается в том, что вместо точного уравнения у0 = ф(д;) применяется приближенное, которое определяется действием статической нагрузки. Иначе говоря, предполагается, что форма колебаний системы с заданной нагрузкой совпадает со статической формой системы, находящейся под действием той же нагрузки. В этом основном предположении и вскрывается приближенный характер данного метода. Однако в большинстве случаев он дает неплохой результат, если учесть еще его относительную простоту. Необходимо отметить также, что метод Рэлея позволяет определить только основную собственную частоту колебаний системы.
Для оценки точности рассмотренного приближенного метода решим одну упрощенную задачу — определить частоту и иериод собственных поперечных колебаний балки (рис. 113, а)
Рис. 1.13.
постоянной жесткости, лежащей на двух опорах и несущей равномерно распределенную нагрузку, отвлекаясь при этом от затухания. Будем считать, что поперечные прогибы балки малы по сравнению с ее длиной и, кроме того, прогибы балки при колебании будем также предполагать малыми. Эти допущения позволят нам пользоваться дифференциальным уравнением изогнутой оси балки и пренебрегать
250
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IV
влиянием перерезывающих сил и вращением отдельных элементов балки.
Считая начало координат в левом конце горизонтально расположенной балки, ось х-в направленной вправо, а ось у-в—вниз, будем иметь уравнение формы балки п.од действием равномерно распределенной нагрузки в следующем
виде:
ql4 I х п X3 . X4 \
Уо ~~ 24EI П P 7rJ' (4.89)
где Y0 — максимальный прогиб середины балки. Почленным делением уравнений (4.89) и (4.90) получим
16 j х а X3 . X4 \ ,, г,,.
Уо— 5 — 2 TT +-7г) ко- (4-91)
Подставляя это уравнение в формулу (4.85), найдем
T ______ 1^8 • 31 ql у2 2 q Q-,
1 max 25-630 g °Р ' (4-У/)
После подстановки (4.91) в уравнение (4.87) и почленного интегрирования получим
77^x =iKi (4.93)
Из выражений (4.92) и (4.93) определяем искомую частоту
р, пользуясь равенством (4.83)
126-24 Elg 31 ql4 *
t = -y. (4-94)
P
,2.
Зная, что
найдем
T = 0,63617 (4.95)
S 9I___ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТЫ 251
Б. Метод Рэлея — Ритца
В основе этого метода лежат те же энергетические соотношения (4.83), (4.88). Отличие состоит в том, что уравнение формы колебаний Уо(л) отыскивается в виде линейной комбинации аппроксимирующих функций Cp1(^)1 ф2(-*0> ••• фл(л), а именно:
где Cil — некоторые постоянные.
При этом функция должна удовлетворять гранич-
ным условиям задачи при любых коэффициентах A1, а2,
..., ап, а это значит, что каждая аппроксимирующая функция фг (дг), взятая в отдельности, также должна удовлетворять граничным условиям. Кроме того, необходимо выбирать эти аппроксимирующие функции в столь общем виде, чтобы при достаточно большом числе п действительное состояние колеблющейся системы могло быть приблизительно представлено в виде
где у0 определяется уравнением (4.96), иначе говоря, чтобы мы имели возможность решить нашу задачу с любой степенью точности.
Далее остается еще сказать о выборе коэффициентов Cil, а2, .... ап. Взяв конечное число членов в выражении (4.96), мы накладываем некоторые ограничения на возможные формы колебания системы, благодаря этому и частота, вычисленная по уравнению (4.88), получится бблыная, чем точное ее значение. Чтобы получить возможно лучшее приближение, было предложено Ритцем выбирать коэффициенты av A2, .... ап в выражении (4.96) так, чтобы частота р была наименьшей, т. е. чтобы выполнялось условие экстремума
Уо = «1Ф1 (X) + а2ц>2 (*)+... + ап ф„ (л), (4.96)
у — у0 COS Pt,
д
dat
о
(4.97)
і
где I = 1, 2, 3........я; п — число членов.
252
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
(ГЛ. IV
Прежде чем идти дальше и искать окончательный вид решения задачи, проанализируем уравнение (4.97) и после несложных математических преобразований напишем его в несколько более удобной форме.
Вводя обозначения
отметим, что потенциальная и кинетическая энергия будут однородными функциями второй степени относительно коэффициентов av а2, .... ап. Следовательно, vF и Ф суть квадратичные функции. Выражение (4.97) теперь запишется в виде
