Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Так как на основании обозначений (4.98) и (4.99)
то, выражая vF через р2, имеем
Сокращая на Ф, которое не равно нулю, получаем систему уравнений (4.97), записанную в преобразованном виде
Znmitx = EI J (y"fdx = W (av а2...................ап) (4.98)
О
и
^Tl==J my2dx=r-<D(av а2, .... ап), (4.99)
о
где / = 1, 2........п. Далее можно написать, что
откуда
(4.100)
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТЫ
253
Для получения окончательного решения задачи необходимо отметить, что так как 1F и Ф являются квадратичными функциями, то их частные производные по at булут функциями линейными и притом однородными относительно av
.....ап‘
Таким образом, выражение (4.100) представляет собой систему однородных уравнений первой степени относительно G1, G2, .... а„. Как известно, такая система допускает решения, отличные от нуля только в том случае, когда ее детерминант 0 равен нулю. Получаем уравнение относительно р2
0 (P2) = O. (4.101)
Это и есть окончательный вид уравнения частоты, причем степень его относительно р2 равна числу уравнений
(4.100), т. е. в конечном итоге — числу взятых аппроксимирующих функций. Низшая частота, т. е. минимальный корень уравнения (4.101), определяет основное колебание системы. Увеличивая последовательно число аппроксимирующих функций, мы будем, во-первых, получать все более и более точное значение частоты основного колебания, а, во-вторых, определять также частоты и других видов колебаний. Зная р2, легко можно найти соотношения между параметрами, так как известно, что в системе линейных однородных уравнений неизвестные относятся, как соответствующие миноры детерминанта системы.
Решим теперь упрощенную задачу, рассмотренную в предыдущем параграфе, методом Рэлея — Ритца, при этом общие допущения и ограничения, указанные ранее, оставим без изменений.
Ограничимся определением частоты только основного вида колебания. Так как балка закреплена на концах шарнирно, то граничными условиями можно считать следующие:
1) на каждом конце прогиб равен нулю, т. е.
у = 0,
2) на концах изгибающий момент равен нулю, т. е.
254
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. ГУ
3) в середине, в силу симметрии, касательная горизонтальна, т. е.
# = 0,
dx
4) в середине перерезывающая сила равна нулю, т. е.
dx3
Так как условие
dxn
равносильно, согласно уравнению (4.82) условию
dxn и’
то, обозначив для удобства длину балки через % и взяв начало координат в середине, направив ось х-в вправо по балке, а ось у-в вниз, граничные условия могут быть представлены в следующем виде:
у0 = 0 при X = +I-,
jJI = 0 "Ри * =
— ^0-—: 0 при X= +1;
dx2
= 0 при дг = 0.
d3y0
dx3
Попытаемся обойтись лишь алгебраическими функциями. Возьмем функцию ф) (х) в виде полинома четвертой степени
(х) = а -\-bx~\- сх2 -(- dx3 -(- ex4.
Легко убедиться, что эта функция удовлетворит всем поставленным условиям, если
і , л Qn CL
о d = 0, с = "б/2” ’ ^ ~Ы *""
Тогда ф!(х) примет такой вид
6а п і о,
ф1 (X) = а — -H7J- X2 -4- -^jr X4.
Коэффициент а здесь не имеет существенного значения, так ^<ак функция ф| (х) в выражении для у0 умножается на па-
§ 9] ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТЫ 255
раметр ах, а поэтому его можно считать произвольным. Для удобства положим, что а = 5, тогда
Остальные функции ф2 (лг), Ф3(х), . .. (см. выражение 4.96) постараемся образовать единообразно, для чего положим, что
ф2 (х) = Tp1 (X) ф, (х), ф3(х) = 1р2(х) ф1 (X), ф4 (X) = Ip3 (X) ф^х),
где функции Ip1 (х), яр2 (х), ... подлежат определению. Возьмем выражение ф/ + 1 (х) и продифференцируем его трижды. Пользуясь формулой Лейбница, получим
d2m+\ _ , , 2 flfyi I .,, <*2Фі
dx2 dx2 dx dx ' ™ dx2 ’
а^фі-и _ і о <*Фі і о d^j_ dhpi , а?3фі
tf*3 rfx2 dx2 йл: tf* dx2 ' dx3
В соответствии с граничными условиями при X = і I обращаются в нуль функция ф; (х) и ее вторая производная, а при х = 0 обращаются в нуль первая и третья производные от этой функции. То же самое должно иметь место и в отношении любой функции ф(- (х) равно как функции Фг + 1(х). Отсюда получаем условия для грг (х). Именно, как можно видеть из написанных равенств, должно быть
при л; = 0и при X= +I', кроме того,
Фі (х) = 5 — б^г + ^j-.
Фт (X) = Ь (х) Фі (х),
Tmi = IVPi.
<%+і __ dx
256
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. IV
при х = 0. Этим условиям можно удовлетворить, положив
*1 (¦*) = [•# (l--5F-)] •
В таком случае нетрудно построить систему аппроксимирующих функций:
X2
¦* .
“Г ц •
ф, (X)= 5-ф!(*) = #(1-Й)(5-6^+|-). «РзМ=[І(і-^-)]г(5-бІ + І
(4.102)
В самом деле, во-первых, все эти функции удовлетворяют граничным условиям, а, во-вторых, поскольку х^1, влияние функций с возрастающим индексом будет все меньше и меньше. На доказательстве сходимости последовательных аппроксимаций при возрастании п мы здесь не останавливаемся.
Первоначально решим задачу в первом приближении, взяв для у0 первую аппроксимирующую функцию, т. е.
Уо = «іФі С*) = flI (5 ~ 6 + тг) .
