Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Тогда согласно (4.98) и (4.99):
W = EI f (y")2 dx = 76,8000 -J- EI,
о
і
ф = J rtiy^dx= ! 2,5968а2/—.
о
Далее, по формуле (4.100) находим р2 9 EIg 76,8000 р ~ ql* ' 12,5968 •
Вводя сюда //2 вместо U т. е. считая I за Полную длину балки, будем иметь
„з—lfi 76’8000 ML
у 12,5968 ' ql* *
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТЫ
257
По формуле (4.94) находим период
т = 0,63618^-1^. (4 103)
Теперь определим частоту и период колебаний во втором приближении, т. е. возьмем для у0 первые две аппроксимирующие функции:
Уо = О1Ф1 (х) + а2 ф2 (X) или, согласно (4.102):
Вычислив интегралы, получим для 1F и Ф:
1F = (76,80000 а? -j- 2 • 11,580960^2 + 87,722410?).
ф = ІЯ- (12,59683а?+ 2 • l,39949e1e2 + 0,32573оІ).
Подставим в формулу (4.100) и произведем частное интегрирование по O1 и G2. В результате получим систему двух уравнений:
76,80000-^— 12,59683-^1)0! +
+ (l 1,58096-^- — 1,39949 -^?І) о2 = 0, (ll,58096-^ — 1,39949 O1 +
+ ^87,72241 Jjf-- 0,32573 O2 = 0.
Вводя обозначение
*2=JSf (4ло4>
и приравнивая детерминант этой системы нулю, получим уравнение частот
76,80000- 12,596832:2; 11,58096- 1,399492:2
11,58096- 1,3994922; 87,72241 —0,3257322
= 0.
После упрощений приходим к биквадратному уравнению Z4 — 2 • 255,90022 + 3078,786 = 0,
258
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IV
из четырех корней которого имеют физический смысл только положительные. Однако из этих положительных корней мы возьмем лишь один, наименьший, и обозначим его через Z1. Этот корень соответствует низшему, основному типу колебаний. Итак, имеем
Подставляя в (4.104) и вводя //2 вместо I, т. е. считая, что I есть полная длина балки, находим выражение для искомой частоты
Наконец, пользуясь формулой (4.94), определяем период
Заметим, что здесь нам совершенно не нужен был больший корень Z2, так как этот корень соответствует уже другому, высшему типу колебаний той же балки и притом такому, при котором упругая линия балки симметрична относительно плоскости, равноудаленной от ее концов и перпендикулярной к прямой, соединяющей эти концы, это следует из выбора аппроксимирующих функций. В действительности же это будет уже третий тип колебаний. Ho ведь мы ставим себе целью получить значение периода только для основного типа, для которого, пользуясь методом Рэлея — Ритца, мы нашли два последовательных приближения. Если бы мы стали вести расчет, опираясь на корень Z2, то в этом случае получили бы для периода соответствующего типа колебаний только первое приближение; для следующего приближения нужно в выражении для у0 взять уже три аппроксимирующие функции фг (х) и т. д.
В. Метод Данкерлея
В основу этого метода положен принцип последовательного загружения системы в различных ее точках, т. е. система с большим числом степеней свободы как бы расчленяется на отдельные одностепенные системы, каждой из которых соответствует своя собственная частота. Приближенное
Z1 = 2,46778.
(4.105)
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТЫ
259
значение собственной частоты р исходной системы определяется по формуле Данкерлея:
J____-L4--L+ +-L
-2 _2 I Jl I ' ‘ • I „2 ’
Pl
Pl
Pn
(4.106)
где P1 — собственная частота элементарной одностепенной системы.
Остановимся несколько подробнее на получении этой формулы. Вывод проведем, пользуясь методом приведения масс.
v/шт.
Рис. 114.
Допустим, система (рис. 114) последовательно загружается в точках 1, 2..........п. Тогда уравнение движения
в каждом случае будет:
т-\У\ = — схУі, т2^2 == СіУ 2’
(4.107)
тпУп=— с„Уп>
где Ci — коэффициент жесткости в данной точке. Решения этих уравнений имеют вид
= Ct1 sin (A*+ Pi).
у2 = Ct2Sin (p2t + P2),
уп = Ctn Sin {pnt + ря).
Дифференцируя дважды и подставляя в (4.107), получим
260
ЛИНЕПНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IV
Выразим C1 через коэффициент влияния Ьи — перемещение
Inl от единичной силы, при-
точки присоединения массы ложенной в той же точке
Cl=-
I
тогда
Pt
nfiii-
(4.108)
Теперь приведем все сосредоточенные массы /K1,
я,
тп к одной точке системы а с одним условием: собственная частота системы с приведенной массой должна быть равна собственной частоте прежней системы в каждом отдельном случае приведения. Тогда будем иметь
1
“2
(аК :»I аа'
¦ т(?\
РІ.
¦ = 4а)г
РІ.
(4.109)
где т\‘
(а).
приведенная к точке а масса Hil, а ра.— «пар-соответствующая приведению /-й
условию, должно
циальная частота» массы к точке а.
Так как, согласно вышеуказанному осуществляться равенство
Pi = Pai,
то, сопоставляя уравнения (4.108) и (4.109), получим
т
Pu Z= m(i%aa или т(?] = *!L
¦ т,
Теперь перейдем к рассмотрению такого случая, когда сосредоточенные нагрузки mt действуют одновременно. Все эти нагрузки также приведем к некоторой одной точке а, сделав допущение, что колебательные свойства системы при
§ 9] ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТЫ 261
этом не меняются. Тогда получаем одну сосредоточенную в точке а нагрузку
