Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
* h
Ige:
/(сй2_(02)2 + 4„2(02 ’
2 па
(3.103)
имеющих тот же внешний вид, что и в случае линейной системы; однако в последней со0 не зависит от амплитуды.
Конкретизируем теперь сделанные общие выводы на случае уравнения типа Дуффинга, когда
F (q) = k? (q + ^3),
т. е. когда уравнение имеет вид
q -f- 2nq -f- k2 (q -f- [i<73) = h cos at.
Полагая
q = A cos i]) = Л cos (at — є), вычисляем по формуле (3.102) со2:
2л
(3.104)
или
= J ^2 (Л cos i])-f-цЛ3 COS3I))) cos і)) с?і))
о
CO2 = &2 (l -f|-M2). (3.105)
§ 4] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 167
что в линейном случае (ц = 0) дает % — k. Далее, из уравнений (3.103) находим
tge
h = A j/~[&2 (I + АцЛ2)-<й2]2 + 2пф
4я2ш2,
k* _ И2 Jr ^kiAi
(3.106)
Первое уравнение разрешить относительно А очень трудно. Поэтому, вводя по формуле (3.105) ш2, представим его в виде
ОУ*
и разрешим относительно «, что дает нам
OJ2 — 2rt2 ± — 4я2(ш2 — я2) . (3.107)
Учитывая зависимость (3.105), строим кривые амплитуд (рис. 83, а, б, в), подобно тому, как это было сделано на рисунке 82. На каждом рисунке семейство кривых представлено для одного и того же затухания, но для различных значений амплитуды возмущающей силы. Скелетная линия соответствует свободным незатухающим колебаниям.
Обратимся теперь к вопросу о многозначности амплитуды, для чего изучим влияние изменения частоты возмущения на амплитуду (рис. 84). Допустим, что в случае жесткой восстанавливающей силы (рис. 84, а) мы начали увеличивать частоту от некоторого ее значения (O1, которой соответствует точка 1 на кривой. В точке 2 амплитуда получит наибольшее значение и начнет постепенно уменьшаться до точки 3, где произойдет срыв амплитуды до ее значения в точке 4, после чего опять наступит ее плавное уменьшение. Наоборот, при уменьшении возмущающей частоты от значения <х>2 мы попадаем в точку 5, где амплитуда совершает скачок до ее значения в точке 6, а далее плавно уменьшается. Таким образом, в точках 3 и 5 нарушается непрерывное изменение амплитуды. Это явление присуще только нелинейным системам.
168
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. III
Аналогично обстоит дело и в случае мягкой восстанавливающей силы (рис. 84, б), где разрывы имеют место в точках 2 и 5.
а/ ej
Рис, 83.
aj 0J
Рис. 84.
Итак, мы встречаемся с неоднозначностью амплитуды, величина которой зависит не только от величины частоты со, но и от направления изменения этой частоты.
§ 41 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 169
Исследование показывает, что искусственным путем можно осуществить изменение амплитуды по среднему участку кривой между двумя вертикальными пунктирными ЛИНИЯМИ, HO здесь амплитуды оказываются неустойчивыми, т. е. практически этот участок выпадает.
В. Метод Галёркина
Метод, предложенный еше в 1915 г. Б. Г. Галёркиным в теории упругости и нашедший впоследствии обширное поле применения как в статике упругого тела, так и в теории колебаний, относится к числу так называемых вариационных методов, в которых сравнивается действительное состояние системы с возможным, близким к нему.
Рассмотрим теоретическое обоснование и применение метода Галёркина только к случаю колебаний системы с одной степенью свободы, в общем случае нелинейной. Из курса теоретической механики известен вариационный принцип Гамильтона, который в применении к консервативным системам говорит о том, что при сравнении движения по «прямому пути» (истинное движение) и по «окольному пути» (возможное движение, близкое к истинному) действие за некоторое время T
tb + X
J (Г — П) dt
*0
по первому из них есть экстремум (обычно минимум). Иначе говоря, вариация действия есть нуль, т. е.
tg -ft
6 J (T — n)dt = 0.
Al
Здесь, как всегда, T есть кинетическая энергия, П — потенциальная энергия системы. При этом считается, что начальные и конечные координаты и скорости всех точек на прямом и окольном пути совпадают; иначе говоря, их вариации равны нулю:
bqj — 0, 6qj = 0
при t = t0 и при t = t0-)— т. Для одной степени свободы имеем лишь bq = 0, bq — 0.
170
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. III
Принцип Гамильтона обобщается и на системы неконсервативные, но тогда он записывается так:
где Q — обобщенная сила, состоящая в общем случае в колебательной системе из восстанавливающей силы, силы сопротивления и возмущающей силы. Предполагая возмущающую силу периодической с круговой частотой со, мы будем искать периодическое решение нелинейного уравнения системы с периодом
причем это же значение т примем за интервал интегрирования в формуле (3.108). Тогда требование равенства нулю вариаций обобщенных координат и скоростей на границах интервала становится совершенно естественным.
Преобразуем уравнение (3.108) к более удобной форме. Так как T зависит от q и q, то
но на основании сказанного о вариациях bq на концах интервала подстановка исчезает, а поэтому, меняя знак, окончательно получаем
(3.108)
(3.109)
Выполняя интегрирование второго члена, имеем
