Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
fo CO H-
dq Io “ ’ \dq I0
Яг CO.
(3.84)
152
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. III
Решая эти уравнения с учетом начальных условий, последовательно находим:
q0 = a cos at, t
Ч\ = ^ J Я<7о(и)> % (W)Jsin со (г? — и) da.
О
q2 = a cos Cttfi
(3.85)
Далее, условие периодичности решения требует удовлетворения равенства:
0 (т) = 0(0) = ct(l +р).
Принимая во внимание выражение (З.вО) исправленного периода, мы можем написать разложение:
?№ = 9(т0) + Х9(то) + 4х29(то)+ •••
Ho так как согласно (3.82):
Я (?) = Яо (?) + Wh (?) + Р% (?) + \**Яа (то) + ^Р<74 С%) + • • •. имеем:
Яо (?) Ч~ (?) Р-72 (?) -Ь • • •
••• + %Яо (?) + /\Щ\ (?) + XPtf2 (то) -f- ••• = а+ар. Поскольку
Яо (то) — Яо (O) = а> Я 2 (то) = а' Я о Ы = Яо (O) = O1 то должно быть:
Яі (?) = °>
или
Я (а) = 0, (3.86)
где согласно (3.85)
to
"W = -S-J /(a cos сои, —асо sin сои) sin сои da. (3.87)
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
153
Уравнение (3.86) называется уравнением порождающей амплитуды; оно нередко бывает трансцендентным и решается графическим или численным методом.
Сравнивая уравнения (3.86) и (3.87) с уравнениями (3.75) и (3.73), видим, что первое приближение по методу Пуанкаре эквивалентно решению по методу осреднения, хотя эти методы исходят из различных предпосылок. При этом метод Пуанкаре позволяет строить высшие приближения, тогда как метод осреднения по своей сущности ограничивает решение лишь первым приближением. Условие устойчивости при fi > 0 получаем в виде неравенства
H'(Uj) < 0, (3.88)
где a,j — корни уравнения (3.87)*).
Для отыскания поправки на период разложим скорость сначала в окрестности невозмущенного периода, а затем в окрестности порождающего решения, находим:
?(To) + X?W + yX2?(To)+ ... =
= % (то) + Mi (Jo) -f 1% (До) -+¦••.
• • • ~f Х?о (то) -Ь IMi (?) +¦ • • • =0.
Так как здесь qQ(T0)~0, q2(т0) = 0, то, ограничиваясь членами первого порядка малости, имеем:
Wi (То) + %%(хо) = 0.
Откуда получаем искомое значение поправки на период с точностью до малых первого порядка:
Я a (T0)
Подставляя сюда значение (т0)= — гав2, имеем:
X = Jx ?i(T0). (3.89)
*) Более подробное и строгое изложение этого вопроса CM. в книге [1J.
154
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. III
Так как исправленная частота
то
¦ д 2 л 2 к
со_со0 + Д(о_ —
Л(0 ~ — Ч ь
или
Ли :
2яа
Яг (то)-
(3.90)
Рассмотрим применение изложенного метода к уравнению Рэлея, часто встречающемуся в приложениях. Это уравнение, приведенное к единичной частоте, имеет вид:
dq
db
(3.91)
или, если воспользоваться фазовыми координатами,
__ V і /1 ,,2\
*4-Ц(1 —У2) У’
dx
db
(3.92)
Составим уравнение порождающей амплитуды, для чего предварительно найдем:
Я і
(ft) = — J /(a costt, —а sin и) sin и du =
= J — jot3) — у cos 2и -f- ~ cos 2 и — cos Au j du.
Так как
t0— 2я, W(O) = ^1(T0) = O-,
то после интегрирования и соответствующих преобразований получаем:
3
а2 = 0.
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
155
Итак, предельный цикл есть; он соответствует a = 2/)/^3. Устойчивость этого цикла доказывается так же, как это делалось ранее:
[«'(aw,=[4(i -TtfIL^=-Ko-
Следовательно, найденный предельный цикл устойчив.
Определим поправку на период по формуле (3.89). Имеем:
0О = — a cos Ф,
qx — (y- T а3) Ф — -|-(1 — а2) sin 2ft — sin 4*.
Qi = -J — ¦§¦ а3 — у (1 — а2) cos 2Ф — cos 4Ф,
^i(O) = O.
Следовательно, X=O, т. е. в первом приближении поправка на период отсутствует.
Г. Примеры автоколебаний электрических и механических систем
1. Ламповый генератор. Обратимся к схеме, представленной на рис. 70, предположив при этом, что рабочий участок характеристики ахЬх лампы на рисунке 71 не ограничивается отрезком прямой. Тогда наклон характеристики S уже нельзя считать постоянным. Предположим, как это часто принимается, что S имеет вид:
S = S0- KV2,
где S0 и К — постоянные. Подставим это значение в уравнение (3.68), которое примет вид:
V + (RC -MS0 +MKV2) V+ ~V = 0.
Положив
1 2 Tc-aO-
несколько преобразуем это уравнение
,, 2 MS0-RCl MK Тг<Л tV
V +O0^-------ZC-----(1-MS0-^Cr V )V'
Перейдем к безразмерному времени # по формуле
Ф = at
156
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. III
и введем обозначения: MS0-RC
V AfSn —
VTc ¦' V MS0-RC Тогда наше уравнение принимает форму уравнения Ван-дер-Поля: X" X с= (.1 (1 — X2) х',
где штрихом обозначены производные по ft. Итак, при выполнении условия самовозбуждения (см. стр. 145)
MS0 -RC > О
в контуре возникают незатухающие электрические колебания, существование устойчивого предельного цикла для которых было показано выше при исследовании уравнения Ван-дер-Поля.
2. Маятник Фруда [2б]. На горизонтальный вал (рис. 73), вращающийся равномерно с угловой скоростью Q1 насажен достаточно свободно, но с некоторым трением, маятник, испытывающий при своем движении также линейное сопротивление. Очевидно, что дифференциальное уравнение движения маятника имеет вид: