Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
:Af(Q-
Уф -J- 6ф -J- mgl sin ф •
-ф).
где У — момент инерции маятника, b — коэффициет линейного сопротивления,
М(.Si)
О
л
Рис. 73.
Рис. 74.
a M (Q— ф) — момент силы сухого трения; остальные обозначения очевидны.
Предположим, что характеристика трения M (Q) имеет вид, представленный на рис. 74. Разложим M (Q— ф) в степенной ряд в окрестности Q:
M(Q-If) = M(Q)-M' (Q) ф — -j М" (Q) Ф2 —Mm(Q) фЗ_|_ ...
Заметим, что на падающем участке характеристики M' (Q) < 0. Подставляя это разложение в уравнение движения и производя линеаризацию, получим:
Уф -J- [A -J- M' (Q)] ф mgltf =*= M (G).
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
157
Отсюда находим угол отклонения маятника от вертикали при равновесии:
Af(Q)
«Po = —lT--mS і
Вводя обозначение
ф = ф— фо. перепишем уравнение в следующем виде:
№ ~Ь (Q)] "ф + = 0.
Если здесь Ь -}- Ai' (Q) > 0, то система диссипативная, если же b -)- Af' (Q) < 0, то система самовозбуждающаяся, обладающая возможностью порождения автоколебаний. Уточнение может быть сделано лишь при учете нелинейных членов. То же относится к случаю b 4- M' (Q) = 0, когда консервативность системы только кажущаяся. Хотя в этом случае на фазовой плоскости и получается центр, но этот центр неустойчив по отношению к малым изменениям параметра: он может порождать фокус, как устойчивый, так и неустойчивый. Вопрос о действительном поведении системы решается уже нелинейной трактовкой задачи.
Удерживая в разложении M (9. — <р) члены до третьего порядка малости, получим следующее уравнение движения
./ij) -}- [ b -}- M' (Q)] ф -)- mglty — — М" (Q) ф2 — ~r Ai'" (Q) ф3.
Поскольку на падающем участке характеристика имеет точку перегиба, то здесь, если не точно, то с достаточным приближением можно положить AT (Q) = 0, тем более, что этот член, как показывает более точное исследование, на результате не отражается. Далее положим
Ь + М' (Q) = - Ьи -L M'" (Q) = Ь2.
Тогда имеем:
yij) — біф -j- b2\j>3 -f- tnglxJ) = 0.
Полагая, далее,
ft = mat, X = O01I/ TT M- =
’O
/ ?
приходим к уравнению Рэлея:
x"+ x = ^(1 —x'2) x'.
Существование и устойчивость предельного цикла для этого уравнения было показано. Итак, возникает автоколебательный процесс, маятник совершает незатухающее колебание постоянной амплитуды около своего отклоненного положения.
В обоих рассмотренных примерах мы имели автоколебательные процессы, каждый из которых отображается на фазовой плоскости
158
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. III
эллипсом (при «обычном времени» t) или окружностью (при «безразмерном времени» #). При малом |х гармоническая аппроксимация вполне достаточна, и колебания получаются синусоидальными. Заметим, что прн отыскании дальнейших приближений по методу Пуанкаре имеем почти синусоидальные колебания. Иную картину будем иметь в двух следующих примерах.
3. Осциллятор Рэлея при большой нелинейности. He уточняя вопроса о физической природе системы, предположим, что эта система описывается уравнением Рэлея (3.91), или
где штрих обозначает производную по безразмерному времени
# = (a0t. Выше мы исследовали это уравнение с помощью метода Пуанкаре, предполагая, что |х есть малая величина. Тогда оказывалось, что получаемые автоколебания близки к синусоидальным и предельный цикл — к окружности (или вообще к эллипсу). Иначе говоря, имели случай квазилинейных колебаний. Заметим попутно, что дифференцируя один раз обе части написанного уравнения и вводя обозначения
При больших значениях параметра |х получаются релаксациоН' ные колебания, для исследования которых изложенные методы неприменимы. Для конкретизации возьмем уравнение *)
приводится к уравнению Рэлея, где ц = 1.
При любом значении (х можно применить метод Льенара. Построим на фазовой плоскости кривую
изображенную на рис. 75 пунктиром. Вспомним, что у = У. Согласно изложенному выше правилу (стр. 134), строим интегральные кривые, дифференциальное уравнение которых имеет вид
*) Стокер Дж., Нелинейные колебания в механических и электрических системах, ИЛ, 1952 [25].
Я" + Ч = M- (1 — Ч'2) 4',
q'V* = *,
сейчас же приходим к уравнению Ван-дер-Поля: z" -f г = |х (1 — г2) г'.
которое подстановкой
X= qY %
dy
(б)
dx
У
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
159
Замкнутая кривая есть предельный цикл. Как видно, этот цикл уже заметно отличается от окружности и даже от эллипса.
Вторичное графическое или численное интегрирование уравнения (а) дает кривую
я = f (0>
определяющую закон движения [здесь уже взято f = Тип этой кривой при |х — 1 представлен на рис. 76, а, при ц = 10 — на
и ю
б)
Рис. 76.
(в)
рис. 76, б !). Как видим, при ц = 1 кривая еще в какой-то мере напоминает синусоиду, а уже при ц = 10 сильно от нее отличается, определяя собой характерные релаксационные колебания.
4. Тормозная колодка.
Тормозное устройство, представленное на рис. 77, состоит из вала и упруго закрепленной колодки 2). Движение системы может быть описано двумя уравнениями первого порядка
